Широком и узком смысле

Определение стационарного процесса в

Существует класс случайных процессов, вероятностные характеристики которых неизменны во времени.

Говорят, что случайный процесс является стационарным в узком смысле, если любая -мерная плотность распределения вероятностей инвариантна относительно временного интервала τ:

, то есть плотность распределения вероятностей не меняется при одновременном сдвиге произвольных сечений случайного процесса вправо или влево на любой интервал τ.

Использование определения стационарного случайного процесса в узком смысле приводит к значительным математическим сложностям при их анализе. Поэтому, целесообразно дать менее строгое определение стационарности, которое, не приводя к большой погрешности, упростит анализ случайного прогресса.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс, удовлетворяющий условиям:

1⁰. Математическое ожидание случайного процесса постоянно при всех аргументах :

2⁰. Корреляционная функция случайного процесса не зависит от положения сечений и на оси времени, а зависит только от расстояния между ними :

.

Из свойства случайного процесса 2⁰ можно вывести следствие:

,

то есть дисперсия стационарного в широком смысле случайного процесса не зависит от времени.

Пример 5.2.1. Рассмотрим телеграфный сигнал, предназначенный для передачи двоичной информации. В информационной последовательности символы 0 и 1 встречаются равновероятно и независимо.

На рисунке 5.2.1 показан сигнал, соответствующий последовательности информационных символов 1001.

Доказать, что данный сигнал является стационарным в широком смысле.

Рис. 5.2.1

Решение. Возьмем производное сечение сигнала, которое может равновероятно попасть как на отрицательный, так и на положительный участок сигнала. Поэтому

Найдем корреляционную функцию телеграфного сигнала, которая в данном случае равна:

.

В силу того, что символы информационной последовательности независимы, при (длительности единичного импульса) случайные величины в сечениях и независимы, а, следовательно, , если .

Рассмотрим случай, когда . В этом случае , причем случайная величина может принимать два значения: , если сечения случайного процесса пришлись на однополярные участки случайного процесса (событие А), и , если сечения пришлись на разнополярные участки импульса (событие В).

Используя геометрическую вероятность, получим:

(произведение вероятностей того, что сечение придется на разные импульсы и того, что следующий импульс имеет другую полярность, чем предыдущий).

Событие А состоит из двух несовместных событий:

- два сечения пришлись на один импульс,

;

- два сечения пришлись на разные импульсы, причем эти импульсы имеют одинаковую полярность;

.

Тогда, .

Таким образом корреляционная функция телеграфного сигнала.

.

Отсюда следует, что для телеграфного сигнала выполняются условия 1⁰ и 2⁰, а значит это случайный процесс в широком смысле.

Свойства корреляционной функции случайного процесса, стационарного в широком смысле.

1. ;

2. .

Нормированной корреляционной функцией стационарного в широком смысле случайного процесса называется неслучайная функция аргумента

.

Для нормированной корреляционной функции справедливо равенство , а значение функции для произвольного расстояния между отсчетами равно коэффициенту корреляции случайных величин, соответствующих двум сторонам случайного процесса, расстояние между которыми .

Дата добавления: 2014-01-04