Свойство эргодичности случайного процесса

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при нахождении любых вероятностных характеристик усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени.

В случае усреднения по времени:

;

Например, пусть эргодический случайный процесс, а - некоторая случайная величина . Тогда случайный процессне является эргодическим, так как величина меняется от реализации к реализации.

Физически, эргодичность случайного процесса означает, что ансамбль его реализации может быть получен путем “нарезки” одной его бесконечной реализации.

Для того чтобы случайный процесс был эргодическим, он, прежде всего, должен быть стационарным в широком смысле случайным процессом. Тогда достаточным условием эргодичности является стремление к нулю корреляционной функции при неограниченном росте временного сдвига :

5.2.3. Спектральное представление случайных процессов.

Перейдем к частотному представлению случайного процесса . Рассмотрим некоторую бесконечно малую полосу частот и введем некую функцию такую, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка выполняется равенство:

, где - средняя мощность флюктуационной составляющей (или дисперсии) в полосе частот . Функция называется спектральной плотностью случайного процесса .

По теореме Винера-Хинчина спектральная плотность стационарного в широком смысле случайного процесса связана с его корреляционной функцией косинус- преобразованием Фурье:

.

При этом считается, что функция определена при и хотя отрицательные частоты не имеют физического смысла, удобно считать, что функция - четная функция.

Учитывая, что , получим, подставляя :

, что является нормирующим соотношением для спектральной плотности.

Таким образом, спектральная плотность стационарного в широком смысле случайного процесса описывает распределение дисперсии (или мощности флюктуационной составляющей по частоте).

Пример 5.2.2. найти спектральную плоскость телеграфного сигнала, рассмотренного в примере 5.2.1.

Решение. Воспользуемся косинус - преобразованием Фурье и выражением для корреляционной функции, полученном в примере 2.1.

.

Вычисляя данный интеграл по частям, получим:

Дата добавления: 2014-01-04