Лекция 2. 1. Теорема Остроградского – Гаусса

1. Теорема Остроградского – Гаусса.

Потоком напряженности электрического поля сквозь малый участок поверхности, проведенный в поле, называется величина

,

где - вектор напряженности в точках поверхности , - единичный вектор, нормальный к площадке , а вектор = . Так как - проекция напряженности поля на направление нормали, то (см. рис.).

Поток напряженности сквозь любую поверхность равен

.

При этом все векторы нормалей к малым поверхностям надо направлять по одну и ту же сторону относительно поверхности .В случае замкнутой поверхности всюду под понимается вектор внешних нормалей (см. рис).

Найдем поток напряженности электростатического поля сквозь любую замкнутую поверхность, проведенную в этом поле. Допустим, что внутри замкнутой поверхности находятся точечных зарядов . В силу принципа суперпозиции, напряженность поля , создаваемого всеми зарядами, равна геометрической сумме напряженностей , создаваемых каждым зарядом в отдельности

(1)

Поэтому

. (2)

Подсчитаем

= = = = . (3)

Подставим (3) в (2) и получим

.

Итак

= . (4)

Выражение (4) – теорема Остроградского –Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

Метод расчета полей, основанный на использовании принципа суперпозиции, применим к расчету поля любой системы зарядов. Это универсальный способ расчета полей, но он связан с математическими трудностями. Однако в случае полей симметричных систем зарядов удобно пользоваться теоремой Остроградского –Гаусса.

Дата добавления: 2014-01-04