Математические методы, применяемые для оптимизации управления технологическими процессами (нелинейное программирование, геометрическое программирование, итеративные методы)

7. Методы нелинейного программирования. Этим названием объединяется большая группа численных методов, многие из которых приспособлены для решения тех задач оптимального управления, которые невозможно решить ни одним из перечисленных выше методов. Иногда эти методы называют прямыми, методами решения задач оптимизации. К классу задач нелинейного программирования относятся задачи с нелинейными ограничениями и нелинейной целевой функцией. Задача нелинейного программирования в общем виде может быть выражена формулой

Необходимо найти максимум или минимум Z = f (Х_и Х₂,...,..., Х_п). Рассматривают алгоритмы решения частных случаев задачи, когда функция является сепарабельной, т. е. f (X_u Х₂,. Х_п) = f₁ (Xj) + f₂ (Х₂) + •••+ f_n(Х_п)/

8. Геометрическое программирование. Метод решения определенного класса задач нелинейного программирования, применяемый тогда, когда критерий оптимальности и ограничения записываются в виде суммы произведений степенных функций от независимых переменных, т.е. являются позиномами — функциями переменных X_t вида

где Х_i > О, С_i; > 0, а_i,j — произвольные действительные числа. Задача геометрического программирования состоит в минимизации некоторого позинома при ограничениях, не позволяющих значениям некоторых других позиномов превосходить единицу. Геометрическое программирование целесообразно применять при оптимизации операций обработки, когда целевые функции ограничений являются позиномами. При этом экстремальное значение целевой функции практически совпадает с действительным экстремумом.

9. К итеративным методам относятся методы поиска оптимального варианта технологического процесса, которые применяются при оптимизации станочных операций и переходов.

Простей шим методом решения задачи является просчет всех возможных вариантов (сочетаний искомых величин). Он применяется, когда искомые величины (например, режимы резания) имеют конечное и притом не очень большое число различных значений. С увеличением количества оптимизируемых переменных число просматриваемых вариантов быстро растет и этот метод становится трудно реализуемым. Поэтому был разработан и практически использован ряд методов поиска, исключающих полный перебор.

Регулярный поиск решения задачи можно проводить во много раз быстрее, чем полный перебор вариантов, при условии выполнения ряда условий. При регулярном поиске оптимальный вариант процесса находится на границе области допустимых решений. Это используется, например, при нахождении режимов резания с учетом возможности процесса по лимитирующим условиям: стойкости инструмента, эффективной мощности резания, точности и др. Для начала перебора находят один допустимый режим и, двигаясь от него, переходят к границе возможных решений. Затем производят перебор конечного множества возможных режимов, расположенных около границы решений. Двигаясь вдоль границы множества, перебирают все крайние режимы резания и находят оптимальный режим для полного перебора.

Направленный поиск наилучшего варианта технологического процесса обработки рассматривают как граф, вершины которого соответствуют какому-нибудь показателю обработки (точность, затраты), а ребра, соединяющие две вершины, — определенным параметрам процесса. Особенностью этого метода поиска оптимального варианта обработки является его направление, определяемое сводом технологических правил и ограничений. Направленный поиск в сочетании с чисто математическими методами оптимизации многофакторных явлений наиболее эффективен при решении широкого круга технологических задач: нахождении оптимального маршрута обработки поверхности детали, выборе оптимального варианта станочной операции и др.

Дата добавления: 2014-01-04