Методы вычисления неоплаченного остатка основной суммы долга

Остановимся подробнее на проблеме вычисления неоплаченного остатка основной суммы долга при амортизации. Допустим, что необходимо найти неоплаченный остаток долга после заданного числа платежей. Составление полной таблицы амортизации для большого числа выплат утомительно, и для нашей цели желательно найти более простой метод решения.

Вернемся к рассуждениям предыдущего пункта лекции. Пусть снова А - основная сумма долга, R - величина выплат, n - число выплат, i - процентная ставка за период, P_k - неоплаченный остаток основной суммы долга А после k выплат. Временная диаграмма для этого случая приведена на рис. 3.

Рис. 3.

В конце каждого периода на невыплаченный остаток по ставке i начисляются сложные проценты и производится выплата R. Следовательно,

P_k+1 = P_k×(1 + i) - R, (2)

причем

Р₀ = А.

Отсюда

Р₁ = А×(1 + i) - R,

P₂=A×(l + i)² - R×(1 + i) - R,

.

.

.

P_k = A×(1 + i)^k - R×(1 + i)^k-1 -... – R

или, короче,

(3)

Принимая во внимание тождество

имеем

(4)

С другой стороны, так как проценты в конце каждого периода вычисляются от неоплаченного остатка и каждая выплата полностью покрывает начисленные к соответствующему моменту проценты, неоплаченный остаток P_k после k выплат определяется последующими n-k выплатами. Точнее, P_k является эквивалентным значением для ренты, состоящей из последних n-k выплат. Докажем последнее утверждение. Из равенства (2) следует, что

Кроме того,

Р_n=0.

Следовательно,

или

Пример.

Долг в размере 100 тысяч рублей амортизируется в виде обычной ренты с выплатами по полугодиям в течение 3,5 года. Проценты начисляются по ставке 10% годовых. Найти невыплаченный остаток в конце второго года.

Решение.

1-й способ.

Определим величину погасительных платежей из уравнения для текущего значения обычной ренты

Отсюда

Так как невыплаченный остаток основной суммы долга Р₄ в конце второго года (четвертого полугодия) эквивалентен множеству, состоящему из последних трех выплат (см. рис. 4),

Рис. 4.

то из уравнения эквивалентности получим

2-й способ (см. временную диаграмму на рис. 5).

Рис. 5.

Вычислим Р₄, используя первые четыре выплаты. Запишем уравнение эквивалентности для конца четвертого полугодия.

Заметим, что Р₄ заменяет последние три выплаты, которым это значение эквивалентно. Решая данное уравнение относительно Р₄, получим

ЗАМЕЧАНИЕ

Первый способ обычно используется, когда все выплаты, включая последнюю, одинаковы. Если последняя выплата отличается от предыдущих, то часто удобнее использовать второй способ.

ЗАДАЧИ

1. 800 тысяч рублей выданы в кредит на два года. Долг амортизируется равными поквартальными выплатами. Найти неоплаченный остаток в конце третьего полугодия, если проценты начисляются по ставке 6% годовых.

2. 300 тысяч рублей выданы в кредит на 1,5 года. Долг амортизируется ежемесячными выплатами по 40 тысяч рублей по ставке 6% в год. Найти срок, необходимый для амортизации, и неоплаченный остаток в конце первого полугодия.

Дата добавления: 2014-01-04