Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 4. 2.4. Динамика колебательного движения

2.4. Динамика колебательного движения

 

Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины . Для выбранного направления оси х:

,

Fупр =mg,

где Fупр = kΔl (закон Гука), Δl=l-l0 , l0 – длина пружины без груза.

Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорением а согласно уравнениям:

 

(2.16)

Введём обозначение , тогда

. (2.17)

Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна

(2.18)

где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия),

- циклическая частота, - фаза колебания,- начальная фаза колебания.

Период колебания

(2.19)

частота . (2.20)

 

Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление.

При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления

, (2.21)

где r– коэффициент сопротивления. Среды, v – скорость движения груза

С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

. (2.22)

 

Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения ,, тогда

(2.23)

где - коэффициент затухания.

В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза

(2.24)

где и - амплитуда колебаний и фаза в момент времени t=0,

- циклическая частота затухающих колебаний (рис 2.7).

Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону

. (2.25)

Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений:

, (2.26)

(2.27)

где ω0 частота свободных колебаний тела.

Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний.

Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении.

Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.

Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и

(2.28)

называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания

(2.29)

Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.

Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ.

,

(2.30)

Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени.

За время τ система совершит колебаний.

Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

(2.31)

Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания.

При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

, (2.32)

В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х1 + х2,

где - соответствует затухающему колебанию,

- вынужденному.

Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени.

Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания

(2.33)

где , (2.34)

(2.35)

Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω 0.

Для Ω << ω 0,

 

, (2.36)

Ω >> ω0,

, (2.37)

.

 

Для частоты внешней силы

(2.38)

 

наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний

(2.39)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Динамика вращательного движения | Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 396; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.