КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 4. 2.4. Динамика колебательного движения
2.4. Динамика колебательного движения
Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины . Для выбранного направления оси х: , Fупр =mg, где Fупр = kΔl (закон Гука), Δl=l-l0 , l0 – длина пружины без груза. Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорением а согласно уравнениям:
(2.16) Введём обозначение , тогда . (2.17) Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна (2.18) где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия), - циклическая частота, - фаза колебания,- начальная фаза колебания. Период колебания (2.19) частота . (2.20)
Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление. При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления , (2.21) где r– коэффициент сопротивления. Среды, v – скорость движения груза С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид . (2.22)
Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения ,, тогда (2.23) где - коэффициент затухания. В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза (2.24) где и - амплитуда колебаний и фаза в момент времени t=0, - циклическая частота затухающих колебаний (рис 2.7). Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону . (2.25) Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений: , (2.26) (2.27) где ω0 частота свободных колебаний тела. Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний. Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении. Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний. Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и (2.28) называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания (2.29) Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени. Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ. , (2.30) Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени. За время τ система совершит колебаний. Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации. (2.31) Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания. При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид , (2.32) В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х1 + х2, где - соответствует затухающему колебанию, - вынужденному. Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени. Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания (2.33) где , (2.34) (2.35) Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω 0. Для Ω << ω 0,
, (2.36) Ω >> ω0, , (2.37) .
Для частоты внешней силы (2.38)
наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний (2.39)
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 396; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |