Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории

Движение по криволинейной траектории всегда происходит с переменной скоростью. Пусть — скорость частицы в момент времени t, а — скорость частицы Dt секунд спустя.

Отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, определяет вектор среднего ускорения движения

(2.11)

Вектор среднего ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 2.11)

Рис. 2.11

Предел среднего ускорения при Dt ® 0 называется вектором мгновенного ускорения частицы в момент времени t.

. (2.12)

Скорость можно представить векторной суммой её составляющих (см. (2.10))

Тогда вектор ускорения можно записать так:

. (2.13)

Здесь , , .

Модуль вектора ускорения

Часто проецируют вектор ускорения не на оси неподвижной системы координат, а на направления касательное (t) и нормальное к траектории (рис. 2.12):

. (2.14)

Здесь а_tи а_n — проекции вектора ускорения, и — единичные векторы тангенциального (касательного) и нормального направлений.

Рис. 2.12

Смысл такого представления ускорения (2.14) в том, что тангенциальное ускорение а_t определяет изменение вектора скорости только по величине, а нормальная составляющая а_n связана с изменением вектора скорости только по направлению. Покажем, что это именно так.

Пусть за время dt скорость частицы изменилась на от до .

(2.15)

Представим сначала, что нормальное ускорение отсутствует . Тогда изменение скорости связано только с тангенциальным ускорением:

Полученный результат означает, что изменение скорости совпадает по направлению с самой скоростью !

Таким образом, скорость, сохраняя свое направление, будет меняться только по величине

или

(2.16)

Касательная составляющая ускорения равна производной модуля скорости по времени.

Теперь пусть отсутствует касательное ускорение . В этом случае:

Новое значение скорости равно:

Возведем эту скорость в квадрат

В правой части этого уравнения вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с V²(t), а в третьем слагаемом скалярное произведение взаимно-перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, за время dt скорость частицы не изменилась по величине

Это означает, что нормальная составляющая ускорения определяет изменение вектора скорости только по направлению. Известно, что численно нормальное (центростремительное) ускорение равно отношению квадрата линейной скорости к радиусу кривизны траектории R:

. (2.17)

Чтобы пояснить этот параметр R, рассмотрим небольшой фрагмент плоской криволинейной траектории. В близких точках М и М’ проведём касательные к траектории t и t’, а к ним восстановим перпендикуляры N и N’ (рис. 2.13). Они пересекаются в точке C’.

Рис. 2.13

Начнем приближать точку М’ к М. При этом угол между нормалями q и дуга устремляются в пределе к нулю. По определению радиусом кривизны плоской линии называется следующий предел

(2.18)

В процессе этой операции точка C’ сместится в новое положение — точку С — центр кривизны.

Теперь обратимся к рассмотрению важного частного случая криволинейного движения.