Конспект лекции

План лекции

ТЕМА I -МНОЖЕСТВА

МАТЕМАТИКА

Специальность «Информатика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Р.А. Александрова. Математика. Учебное пособие. Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007 г. (РГУ).

2. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения: учеб. пособие, 2007. (РГУ).

3.Математика, ч.1, справочник/ сост. Р.А.Александрова: Изд-во РГУ им. И.Канта, 2010.-41 с.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями: в 2 ч.: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: ОНИКС 21 век: Мир и образование, 2003 - Ч. 1. - 6-е изд. - 304 с. - ISBN 5-94666-008-Х. - ISBN 5-329-00326-1. (имеется в РГУ)

5. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах c решениями: в 2ч.: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: ОНИКС 21 век: Мир и образование, 2003 - Ч. 2. -, 6-е изд. - 416 с. - ISBN 5-94666-009-8. - ISBN 5-329-00327-Х. (имеется в РГУ)

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

1. Понятие множества, геометрическая интерпретация числовых множеств на числовой прямой.

2. Операции с числовыми множествами (объединение, пересечение).

3. Декартово произведение множеств.

1. М ножество – основное понятие, оно не определяется, вводится на примерах: множество жителей города - конечное, множество натуральных чисел N= { 1;2;3;…n …}-бесконечное. Каждое множество состоит из элементов: a;b;c;…m;1;2;3;…n …; элемент а принадлежит множеству А (); если В ={x|}, то -пустое. Множества чисел, расположенных между двумя данными числами, иллюстрируются числовой прямой: прямой линией с началом координат (точкой О), направлениями и масштабом: (множество действительных – чисел R =; отрезок - ; интервал – (a;b)={ x|a<x<b }; полуинтервалы - и ; лучи - и ; открытые лучи - и . Для множеств А ={2;4;6;8} и B ={4;6}: все элементы В являются элементами множества А; множество В –это подмножество (правильная часть) множества А: ; Связь множества и его подмножества –это отношение включения, для него выполняются свойства: [1].- рефлексивности; [2]. Из и следует - транзитивности; [3]. . Отношение иллюстрируется рисунком, где каждое множество изображается в виде овала; это диаграммы (круги) Эйлера – Венна. Если для множеств для А и В выполняется и , то А и В состоят из одних и тех же элементов: ; А и В связаны отношением равенства, свойства: [4]. А= А – рефлексивности; [5]. Из А=В следует В=А – с имметричности; [6]. Из А=В и В=С следует А=С – транзитивности.

2. Объединение множеств А и В – это новое множество С, состоящее из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В: или (союз «или» имеет «неразделительный» смысл: в объединение А и В включены элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств). Понятие объединения двух множеств распространяется и на большее число множеств. Свойства: [1]. АВ=В; [2]. . Например, для А =[2;6) и B =(;3] объединение - это множество С = АВ =[2;6);3]=(-;6). Объединение множеств используется при решении, например, неравенств первой степени: для неравенства | х -4|>1 надо найти множество А={ х||х -4|>1}, Так как неравенство | х -4|>1 равносильно совокупности двух неравенств (a) х- 4>1 или (b)х-4<-1 (х >5 или х <3), то { x || x -4|>1}={ x | x >5}{ x|x <3}=(5;)(-;3). Пересечение множеств А и В – это новое множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В: . Свойства: [3]. AB=BA; [4]. A(BC)=(AB)C. Например, пересечение А =[2;6) и B= (;3] –это множество С = АВ =[2;6)(;3]=[2;3]. Операция пересечения множеств также используется при решении неравенств первой степени: для неравенства | x -4|<1 надо найти множество А={ x || x -4|<1}. Неравенство | x -4|<1 равносильно двойному неравенству –1< x -4<1, поэтому x -4>-1, х >3 (а); x -4<1, х <5 (b) и { x || x -4|<1}={ x|x <5}{ x|x> 3} = [5]. Если два множества не имеют общих элементов, то АВ =(множества непересекающиеся). [6]. A=A; A=. Разность множеств А и В – это новое множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В: А\B=C, A\B={x|xA,xB}. Если же ВА, то разность A\B называется дополнением множества В до множества А: .Операции объединения и пересечения множеств являются основой для разбиения множества на классы. При разбиении, например, множества U- всех треугольников на 2 класса при помощи одного свойства «быть равносторонним» из U выделяется подмножество А «равносторонних треугольников», остается подмножество «разносторонних треугольников», при этом: Свойство «быть равносторонним» разбило множество треугольников U на два класса. Разбиение множества на попарно-непересекающиеся множества называется разбиением множества на классы, полученные классы называются классами разбиения.

3. Два элемента множества x и y образуют упорядоченную пару: (x;y); в паре (x;y) элемент (х) - первая компонента, (y) - вторая компонента. Равные упорядоченные пары - это пары вида и () при ; если xy, то пары (x,y) и (y,x) различны. Если компоненты х и y принадлежат разным множествам (), то можно построить декартово произведение множеcтв X и Y: Х ={2,4}, Y={a,b,c}, декартово произведение: {(2; a); (4; a);(2; b);(4; b);(2; c);(4; c)}. Геометрически. если то каждой паре (x,y) соответствует одна и только одна точка плоскости в данной системе координат, и обратно, каждой точке плоскости соответствует одна и только одна пара действительных чисел. Декартово произведение множеств X и Y –это множество всех упорядоченных пар вида (x,y) таких, что : XY={(x,y)|x. Свойства: [1].X, [2]. X

Декартово произведение множеств изображается в виде чертежа: на горизонтальной оси откладывают элементы множества Х, на вертикальной оси, пересекающей горизонтальную ось под прямым углом в точке О – элементы множества Y. Тогда точка плоскости, первая координата которой х, а вторая y, является элементом декартова произведения. Например, декартово произведение множеств Х ={3,4,5} и Y =[-2,4) изображено на рисунке (Рис.1):

Рис. 1

Частным случаем является составление декартова произведения множеств X и Y, таких, что X=Y, т.е. Xи {(x;y)|xX,yX}; это декартов квадрат, обозначается ; декартов квадрат множества Х - это множество упорядоченных пар, обе компоненты пар выбираются из одного множества Х.

Дата добавления: 2014-01-04