План лекции. 2.Определение знака квадратичной формы

ТЕМА VII–КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

Лекция (1 час)

1.Понятие квадратичной формы.

2.Определение знака квадратичной формы.

1.Квадратичная форма от «n» неизвестных - это сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из неизвестных, либо произведением двух различных неизвестных, например: В форме встречаются подобные члены, поэтому вводятся специальные обозначения коэффициентов при неизвестных: коэффициент при обозначается через ; так как (1), то коэффициент при обозначается ; из (1) , тогда . Квадратичная форма записывается: . Например, для квадратичной формы (2): (а) квадратов вида не существует, поэтому ; (b) , получаем матрицу . В матрице все элементы, симметричные друг другу относительно главной диагонали, равны между собой; матрица А - симметрическая, симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной. Квадратичная форма - каноническая, если все коэффициенты при произведениях различных неизвестных, равны нулю, например, . Всякую квадратичную форму специальными преобразованиями можно привести к каноническому виду.

2.В процессе некоторых исследований появляется необходимость определения знака квадратичной формы. Если квадратичная форма представлена в каноническом виде, то она считается положительно определенной, если все квадраты положительны. Если квадратичная форма состоит не только из квадратов неизвестных, то для определения ее знака существует критерий Сильвестра. Все миноры, расположенные в верхнем левом углу матрицы квадратичной формы – это главные миноры. Например, для матрицы третьего порядка - главные миноры –это . Критерий Сильвестра: (а)Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны. (b) Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки всех угловых миноров ее матрицы чередовались при условии, что . Например, для : , тогда матрица квадратичной формы

и , форма f- положительно определена.

Дата добавления: 2014-01-04