План лекции. 1.Понятие системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными

Лекция

ТЕМА VIII–СИСТЕМЫ «n» УРАВНЕНИЙ С «n» НЕИЗВЕСТНЫМИ.

1.Понятие системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными.

2.Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными по правилу Крамера.

3.Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными методом Гаусса.

4.Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными матричным методом.

1.Система «n» линейных уравнений с «n» неизвестными - это система вида:

(1).

Числа это коэффициенты системы, - свободные члены.

(2) – матрица системы (1). =(3) – определитель матрицы системы (1). Если в системе (1) все , то система (1) называется однородной.

2. Решение системы (1) – это множество чисел вида , которые обращают все уравнения системы (1) в тождества. Если система имеет хотя бы одно решение, то она совместна, если решений система не имеет, то система несовместна. Если , то матрица А – невырожденная, тогда существует обратная матрица . Пусть Х столбец, составленный из неизвестных, В - столбец, составленный из свободных членов системы (1).

(4). Составим определитель (5), который строится на основе определителя (3) путем замены элементов j- го столбца на элементы столбца свободных членов. Вычислим произведение матриц A и X:

- слева матрица-столбец составлена из левых частей уравнений системы (1); записывается в виде матричного уравнения: АХ=В (6). Если , матрица (2) невырожденная, существует матрица , обратная матрице А: (7) и (8)

Умножая обе части уравнения (6) на матрицу слева получаем: или (9). Для произведения :

=(10)-матрица–cтолбец, элемент, стоящий в j -ой строке этой матрицы равен:

(11) - в скобке равенства (11) стоит сумма произведений элементов столбца свободных членов, стоящего в j-ом столбце, на алгебраические дополнения этих же самых элементов, эта сумма равна значению определителя (5) (см. св-ва), откуда (12). С другой стороны: и если матрицы равны, то элементы, стоящие в одинаковых строках, равны между собой, поэтому , ,(13) – это формулы Крамера для решениясистемы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными, например, в системе с тремя неизвестными: :

3.Не всегда число уравнений совпадает с числом неизвестных, тогда квадратной матрицы системы не существует, кроме того, формулы Крамера неудобно применять при большом числе неизвестных, тогда используется метод Гаусса. Будем предполагать, что все заданные системы совместны, т. е. имеют решения. Матрица является ступенчатой, если все элементы ее, расположенные ниже главной диагонали, нулевые. Расширенная матрица системы (1) имеет вид:

(14).

Метод Гаусса заключается построении расширенной матрицы для системы уравнений и преобразовании ее к ступенчатому виду.

Рассмотрим систему с четырьмя неизвестными.

(15).

Пусть в системе (15) (если в системе первый коэффициент равен нулю, то можем изменить порядок расположения уравнений и сделать первым такое уравнение, в котором ).

1 шаг: (а) Разделим все члены уравнения (а) на коэффициент ; умножим полученное уравнение на число и вычтем его из (б); затем уравнение (а) умножим на и вычтем его из (в); наконец умножим это же уравнение на число и вычтем его из уравнения (г). В результате первого шага приходим к системе, в которой коэффициенты при неизвестной «х» равны нулю:

Во всех уравнениях системы (15) коэффициенты при неизвестном «х» равны нулю.

2 шаг: C уравнениями (е), (ж), (з) поступаем так же, как с уравнениями (а), (б), (в), (г) и т.д.В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:

(16).

Из преобразованной системы (16) последовательно вычисляются все значения неизвестных. Например:

; ~~~

или , откуда z=2;y=3;x=-1.

4. К решению систем уравнений можно применить матрицы (матричный метод). Рассмотрим систему уравнений с четырьмя неизвестными: .Обозначим: - матрица системы уравнений; , матрица – столбец составлена из неизвестных; - матрица – столбец, составлена из свободных членов системы. По правилу умножения матриц: .

Каждая строка правой части произведения матриц может быть приравнена своему свободному члену, поэтому имеем: (17). Последнее равенство – это матричное уравнение, где роль неизвестного играет матрица Х.

Дата добавления: 2014-01-04