Кинематика вращательного движения

ЛЕКЦИЯ 2

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Быстроту вращения естественно характеризовать углом, на который поворачивается тело в единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt тело поворачивается на одинаковые углы Dj, вращение называется равномерным. Пусть равномерно вращающееся тело поворачивается за время t на угол j. Тогда величина

(2.1)

определит угол поворота в единицу времени. Эту величину называют угловой скоростью тела (точнее, эта величина есть модуль угловой скорости, сама угловая скорость – вектор). При неравномерном вращении выражение (1.1) дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени t. Мгновенное значение угловой скорости определяется выражением

(2.2)

где Dj - угол, на который поворачивается тело за время Dt.

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину w, модуль которой определяется формулой (2.2). Направлен вектор w вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление w образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору w, вращение представляется происходящим по часовой стрелке (рис.2.1). Определенная таким образом векторная величина w называется угловой скоростью тела. Поскольку направление угловой скорости определяется условно, w является псевдовектором. Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

Изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной

e===, (2.3)

которая называется угловым ускорением. Как и угловая скорость, угловое ускорение является псевдовектором.

Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, вектор w может изменяться только по модулю. В этом случае векторы w и e коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное.

При неизменном направлении оси вращения модуль углового ускорения определяется формулой

e= (2.4)

(модуль вектора всегда положителен, производная же dw/dt может быть как положительной, так и отрицательной). Нетрудно сообразить, что сама производная dw/dt представляет собой проекцию углового ускорения на направление угловой скорости:

(2.5)

Отметим, что при поворотах оси вращения угловое ускорение e отлично от нуля даже в том случае, когда dw/dt=0.

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду за секунду (рад/с²).

Найдем связь векторов w и e с величинами v и а, которые, чтобы отличить от угловых называют линейными скоростью и ускорением. Из рис. 2.1 следует, что точка тела, отстоящая от оси вращения на расстоянии R, при повороте тела на угол Dj проходит путь Ds=RDj. Разделив Ds на время Dt, за которое произошел поворот тела на угол Dj, и осуществив предельный переход, получим модуль линейной скорости точки:

.

Таким образом, мы нашли связь между модулями линейной и угловой скоростей:

v=wR (2.6)

Будем определять положение точек тела с помощью радиус-вектора r, проведенного из точки О, лежащей на оси вращения. На рис. 2.2 видно, что R=r sinb. Подстановка этого значения в (2.6) дает

v=wrsinb

Это равенство и показанные на рис. 2.2 взаимные направления векторов w, r, и v дают основание представить v в виде векторного произведения w на r:

v = (2.7)

Дата добавления: 2014-01-04