Движение по криволинейной траектории

При равномерном движении по криволинейной траектории =0, так что скорость изменяется только по направлению. Легко сообразить, что направление скорости будет изменяться тем быстрее, чем больше кривизна траектории и чем быстрее движется частица.

Представив скорость в виде

v =v e _v (2.8)

(e _v-орт скорости v), рассмотрим два частных случая; 1) движение по прямолинейной траектории и 2) равномерное движение по окружности.

1. При прямолинейном движении e _v=const, изменяется только v, поэтому

а = е _v (2.9)

Из этого выражения следует, что в случае, когда скорость со временем увеличивается (т.е. ), ускорение направлено так же, как скорость, а модуль ускорения равен . Если же скорость со временем уменьшается (т.е. <0), направление ускорения противоположно направлению скорости, а модуль ускорения равен (напомним, что модуль вектора должен быть положительным).

2. При равномерном движении по окружности v=const, изменяется только е _v, поэтому

а =v . (2.10)

Из рис.2.3 следует, что за время Dt орт скорости поворачивается на угол Dj=vDt/R и получает приращение Dе_v. По определению производной

. (2.11)

При Dt®0 будет стремиться к нулю и угол Dj. Поэтому, заменив хорду АВ на рис.2.3 б соответствующей дугой, можно положить |Dе_v| приближенно равным Dj (напомним, что стороны треугольника ОА и ОВ равны единице). При Dt®0 отношение хорды к дуге будет стремиться к единице.

Приняв |Dе_v|»Dj, можно написать, что D е _v»Dj× n^I, где n^I -единичный вектор, имеющий такое же направление, как и D е _v. При предельном переходе этот единичный вектор превращается в n – орт нормали к траектории в той точке, в которой была частица в момент t. Подставив полученное значение D е _v в формулу (2.11) и приняв во внимание, что Dj=vDt/R, получим

.

Как мы и предполагали, быстрота поворота вектора скорости (т.е. поворота е _v) оказалась пропорциональной модулю скорости и кривизне траектории. (В случае окружности кривизна траектории характеризуется величиной, обратной радиусу.)

Подставив найденное значение в формулу (2.9), получим, что

а _n= (2.12)

Таким образом, при равномерном движении по окружности ускорение определяется выражением (2.12). Направлено ускорение по нормали к скорости. Поэтому его называют нормальным ускорением и в обозначении его ставят индекс n.

Каждой точке произвольной искривленной линии можно сопоставить окружность, которая сливается с линией на бесконечно малом участке (рис.2.4).

Радиус этой окружности характеризует кривизну линии в данной точке и называется радиусом кривизны.

Если частица движется равномерно по произвольной криволинейной траектории, ускорение также определяется формулой (2.12), причем под r подразумевается радиус кривизны траектории в той точке, где находится в данный момент частица.

При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в формуле (2.8) изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения двух функций, получим выражение

а =,

из которого следует, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них, как мы выяснили ранее, коллинеарно скорости и, следовательно направлено по касательной к траектории. Поэтому его называют тангенцальным (т.е. касательным) ускорением и обозначают а_i. Второе является нормальным ускорением.

Итак,

а = а_i + а_n= (2.13)

(обычно вместо е _v пишут i - орт касательной, однако мы предпочитаем писать е _v, чтобы подчеркнуть, что это орт скорости). Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скорости. Второе слагаемое – быстроту изменения направления скорости.

Составляющие а _i и а _n перпендикулярны друг к другу. Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих

а=. (2.14)

Дата добавления: 2014-01-04