Упругие силы

Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменения размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил восстанавливаются прежние форма и размеры тела, то деформация называется упругой. Деформация имеет упругий характер в случае, если внешняя сила не превосходит определенного значения, которое называется пределом упругости. При превышении этого предела деформация становится пластической. В этом случае после устранения внешних сил первоначальные форма и размеры тела полностью не восстанавливаются. В дальнейшем мы будем рассматривать только упругие деформации.

В деформированном теле возникают упругие силы, которые уравновешивают внешние силы, вызвавщие деформацию. Поясним это следующим примером (рис.3.4). Под действием внешней силы F _внеш пружина получает удлинение х, в результате чего в пружине возникает упругая сила F _упр, уравновешивающая силу F _внеш.

Упругие силы возникают во всей деформированной пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой, равной F _упр (рис.3.5).

Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при упругой деформации удлинение пружины пропорционально внешней силе. Аналитически эту закономерность принято записывать следующим образом:

x= (3.16)

(из рис.3.4 следует, что знаки х и проекции F _внеш на ось х совпадают). Величина k называется жесткостью пружины. Из (3.16) следует, что чем больше k, тем меньшее удлинение получает пружина под действием данной силы.

Упругая сила отличается от внешней только знаком. Поэтому F _упр,х= -F _внеш,х. Произведя такую замену в формуле (3.16), получим, что

x=- (3.17)

Опустим для краткости индекс “упр” и напишем это соотношение в виде

F_x=-kx. (3.18)

Здесь F_х – проекция упругой силы на ось х, k – жесткость пружины, х – удлинение пружины.

Жесткость k пружины зависит от материала, размеров витка и длины пружины. Если разрезать деформированную пружину на две равные части, упругие напряжения в каждой из частей останутся прежними, а удлинение х половины пружины будет в два раза меньше, чем у первоначальной пружины. Отсюда согласно (3.18) следует, что жесткость «половинной» пружины в два раза больше, чем целой.

Однородные стержни ведут себя при растяжении и одностороннем сжатии подобно пружине (рис. 3.6). Деформация приводит к возникновению в стержне упругих сил. Эти силы принято характеризовать напряжением s, которое определяют как модуль силы, приходящейся на единицу площади:

s=F_{упр, ^}/S (3.19)

(S – площадь поперечного сечения стержня; предполагается, что упругая сила распределена равномерно по сечению; значок ^ указывает на то, что сила перпендикулярна к площадке, на которую она действует). В случае растяжения s считается положительным, а в случае сжатия – отрицательным. Сила F _упр направлена перпендикулярно к сечению стержня; поэтому напряжение s называется нормальным.

Опыт дает, что приращение длины стержня Dl пропорционально напряжению s:

(3.20)

Отметим, что знак Dl совпадает со знаком s.

Коэффициент k, как и в случае пружины, зависит от свойств материала и от длины стержня. Если разрезать стержень, например, на две равные части, k увеличится в два раза. Таким образом, можно написать, что

k=E/l₀ (3.21)

где Е – величина, характеризующая упругие свойства материала стержня. Ее называют модулем Юнга. Она измеряется в ньютонах на квадратный метр. Единица напряжения (а также давления), равная ньютону на квадратный метр называется паскалем (Па).

Подстановка в (3.20) значения (3.21) для k приводит к формуле

Обозначив относительное приращение длины стержня Dl/l₀ буквой e, получим окончательную формулу

(3.22)

согласно которой относительное удлинение стержня прямо пропорционально модулю Юнга. Формула (3.22) выражает закон Гука для стержня.

Из (3.22) вытекает, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т.е. приращение длины Dl равнялось бы первоначальной длине l₀ стержня), если бы столь большие упругие деформации были возможны. В действительности, например, железные стержни разрушаются при s, равных примерно 0,002Е; предел упругости достигается при еще меньших напряжениях.

Заметим, что растяжение и сжатие стержней сопровождается соответствующим изменением их поперечных размеров.

Рассмотрим прямоугольный брусок, закрепленный неподвижно нижней гранью (рис. 3.7). Под действием силы F, приложенной к верхней грани, брусок получает деформацию, называемую сдвигом. Величина g, равная тангенсу угла сдвига j, называется относительным сдвигом. При упругих деформациях угол j бывает очень мал; поэтому tgj»j. Таким образом, относительный сдвиг определяется формулой

g=tgj»j. (3.23)

Деформация сдвига приводит к возникновению в каждой точке бруска тангенциального упругого напряжения i, которое определяется как модуль силы, приходящейся на единицу площади:

i= F_упр,II/S. (3.24)

Здесь S – площадь воображаемой поверхности, параллельной верхней грани бруска, (например, поверхности АВ на рис. 3.7). Предполагается, что действие внешней силы F распределено равномерно по верхней грани. Значок II указывает на то, что сила F _упр параллельна к площадке, на которую она действует

Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:

(3.25)

Величина G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Она равна такому тангенциальному напряжению, при котором g=tg j, был бы равен единице (а j =45⁰), если бы столь огромные упругие деформации были возможны. Измеряется G, как и модуль Юнга Е, в паскалях.

Дата добавления: 2014-01-04