Сохраняющиеся величины

ЛЕКЦИЯ 4

Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называются силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой (или изолированной).

Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Эти законы тесно связаны со свойствами времени и пространства. Законы сохранения являются фундаментальными законами природы.

Рассматриваемые в механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса оказываются точными законами и имеют всеобщий характер – они применимы не только к механическим явлениям, но и вообще ко всем явлениям природы, в частности они соблюдаются в релятивисткой области и в мире элементарных частиц.

Законы сохранения не зависят от природы и характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно делать ряд важных заключений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы остаются неизвестными.

Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (материальных точек). Обозначим через F_ik силу, с которой к-я частица действует на i-ю частицу (первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс – номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила). Символом F _i обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Напишем уравнения движения всех N частиц.:

=F₁₂+F₁₃+…+F_1k+…+F_1N+F₁,

=F₂₁+F₂₃+…+F_2k+…+F_2N+F₂,

………………………………….

=F_i1+F_i2+…+F_ik+…+F_iN+F_i (k¹i)

……………………………………..

=F_N1+F_N2+…+F_Nk+…+F_{N, N-1}+F_N (k¹N)

(p_i – импулсь i-й частицы)

Сложим вместе эти уравнения. Слева получится производная по времени от суммарного импульса системы:

Справа отличной от нуля будет только сумма внешних сил . Действительно, сумму внутренних сил можно представить в виде

(F₁₂+F₂₁)+(F₁₃+F₃₁)+…+(F_ik+F_ki)+…+(F_{N-1, N}+F_{N, N-1}).

Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равна нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда равна нулю:

(4.1)

С учетом этого получим, что

(4.2)

Таким образом, производная по времени от суммарного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если система замкнута, внешние силы отсутствуют и правая часть уравнения (4.2) равна нулю. Соответственно dp/dt=0 и, следовательно, р=const.

Итак, мы пришли к выводу, что суммарный импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было на прежнем месте.

Заметим, что согласно формуле (4.2) импульс остается постоянным и у незамкнутой системы в том случае, если сумма всех внешних сил равна нулю.

Спроектировав все векторы, фигурирующие в уравнении (4.2), на некоторое направление х, получим

(4.3)

(отсюда следует, что проекция на ось х вектора равна dp_x/dt). Согласно (4.3) для того, чтобы сохранялась проекция суммарного импульса на некоторое направление, достаточно равенства нулю проекции на это направление суммы внешних сил; сама эта сумма может быть отличной от нуля.

Точка С, положение которой определяется радиус-вектором

(4.4)

называется центром масс системы материальных точек. Здесь m_i – масса i-й частицы, r_i – радиус-вектор, задающий положение этой частицы, m – суммарная масса системы. Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.

Спроектировав r_c на координатные оси, получим декартовы координаты центра масс:

x_c= y_c=, z_c= (4.5)

Продифференцировав r_с по времени, найдем скорость центра масс:

v_c= (4.6)

(v_i – скорость, а р_ш – импульс частицы, р – импульс системы).

Согласно (4.6) суммарный импульс системы можно представить в виде произведения массы системы на скорость центра масс:

p =m v _c (4.7)

Подставив это выражение в формулу (4.3), получим уравнение движения центра масс:

(4.8)

(а_с – ускорение центра масс). Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы а_с=0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц – системой). Эта система инерциальна. Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называется лабораторной системой (сокращенно л – системой).

Дата добавления: 2014-01-04