Потенциальная энергия материальной

Работа

Согласно определению скалярного произведения выражение (4.15) для элементарной работы можно представить в виде

dA= F d s =Fcosa×ds, (4.18)

где F – модуль силы, ds – путь, пройденный точкой приложения силы, a - угол между векторами силы F и перемещения d s.

Если угол острый, работа положительна. Согласно (4.16) приращение кинетической энергии также положительно; следовательно, кинетическая энергия увеличивается. Если угол тупой, работа и приращение кинетической энергии отрицательны; следовательно, кинетическая энергия уменьшается. При a=p/2 работа равна нулю и кинетическая энергия остается неизменной.

Запишем выражение для работы в виде

dA=F_sds, (4.19)

где F_s – проекция силы на направление перемещения d s, а ds – модуль перемещения, равный элементарному пути. На рис. 4.2 дан график зависимости F_s от s. Работа, совершаемая на пути от точки 1 до точки 2, положительна и численно равна площади S₁ фигуры 1В2, взятой со знаком плюс: А₁₂(=)S₁. Работа на пути от точки 2 до точки 3 отрицательна и численно равна площади S₂ фигуры 2С3, взятой со знаком минус: А₂₃(=)-S₂. Мы взяли знак равенства в скобки, чтобы подчеркнуть, что речь идет только о числовом равенстве (размерности работы и площади не совпадают). Работа на всем пути 1-3 численной равна разности площадей S₁ и S₂: А₁₃(=)S₁-S₂.

Применим полученный результат к нахождению работы, совершаемой внешней силой при растяжении пружины, подчиняющейся закону Гука. Растяжение будем осуществлять очень медленно для того, чтобы проекцию внешней силы на ось х можно было считать все время практически равной кх. В рассматриваемом случае F_sds =F_xdx. График зависимости F_x от х показан на рис. 4.3. Из рисунка следует, что работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение пружины х, равна

А=. (4.20)

Такая же работа совершается при сжатии пружины.

В случае, если на частицу действуют несколько сил, их работа на пути ds равна

dA=(F ₁+ F ₂+…)d s = F ₁d s + F ₂ds+…

(мы воспользовались дистрибутивностью скалярного произведения векторов. Каждое из слагаемых в правой части дает работу соответствующей силы. Таким образом, мы приходим к выводу, что работа суммы нескольких сил, действующих одновременно на частицу, равна сумме работ, которые совершила бы каждая сила в отдельности:

А=А₁+А₂+… (4.21)

Это утверждение согласуется с опытом.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность Р определяется соотношением

Р= (4.22)

Где dA – работа, совершаемая за время dt. Подставив вместо dA выражение (4.15) и приняв во внимание, что ds/dt есть скоростьv, получим

Р= F Fv (4.23)

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.

Единицей работы служит работа, совершаемая на пути в один метр силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж).

Единицей мощности является такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю. Эта единица называется ваттом (Вт). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л.с.) и равная 736 Вт.

Из соотношения (4.17) следует, что размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы. В сответствии с этим энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.

Лекция 5

Консервативные силы

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Примерами могут служить взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и поднятым над ее поверхностью телом, взаимодействие между наэлектризованными телами. Подобные взаимодействия осуществляются посредсвом физических полей, которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, в гравитационном поле, создаваемом Землей, на тело массы m в каждой точке пространства вблизи поверхности Земли действует сила тяжести m g.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положения частицы, называются консервативными.

Легко показать, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. Разобьем произвольный замкнутый путь (рис.5.1) точками 1 и 2 (взятыми также произвольно) на два участка, обозначенных римскими цифрами I и II. Работа на замкнутом пути слагается из работ, совершаемых на этих участках:

А=(А₁₂)_I+(А₂₁)_II (5.1)

Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений ds на –ds, вследствие чего изменяет знак на обратный. Отсюда заключаем, что (А₂₁)_II=-(А₁₂)_II. Произведя такую замену в (5.1), получим, что

А=(А₁₂)-(А₁₂)_II.

Вследствие независимости работы от пути последнее выражение равно нулю. Таким образом, консервативные силы можно определить как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, поле называется однородным. Если, кроме того, поле не изменяется со временем, оно называется стационарным. В случае однородного стационарного поля F =const.

Докажем, что силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны. Возьмем в таком поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.5.2 и вычислим работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из первой точки во вторую по произвольной траектории. В выражении для работы постоянную силу можно вынести за знак интеграла:

А₁₂=

Сумма элементарных перемещений дает результирующее перемещение s₁₂ частицы из точки 1 в точку 2; поэтому

А₁₂= Fs ₁₂=Fs_F (5.2)

Где F – модуль силы, а s_F – проекция перемещения s₁₂ на направление силы (мы опустили индексы «12» в обозначении проекции перемещения). Полученное выражение определяется только положениями точек 1 и 2 и не зависит от формы траектории. Таким образом, мы доказали, что силы однородного стационарного поля консервативны.

Примером однородного стационарного поля может служить поле силы тяжести в ограниченной области вблизи поверхности Земли. Согласно (5.2) работа, совершаемая над частицей силой Р, независимо от формы траектории, равна

А₁₂=mg(h₁-h₂), (5.3)

Где h₁-h₂ есть проекция перемещения s₁₂ на направление вниз по вертикали (рис. 5.3). Следовательно, сила P =m g консервативна.

Поле, в любой точке которого направление силы, действующей на частицу, проходит через неподвижный центр, а модуль силы зависит только от растояния r от этого центра, называется центральным. Направлена сила либо от центра (как на рис.5.4) либо к силовому центру.

Найдем работу, совершаемую над частицей в центральном стационарном, т.е. не изменяющимся со временем, силовом поле. В таком поле модуль силы определяется функцией F(r). Представим элементарную работу в виде

dA=Fds=F(r)ds_F,

где F(r) – модуль силы, а ds_F – проекция перемещения на направление силы. Из рис. 5.4, выполненного для силы, направленной от центра (т.е. для случая отталкивания частицы от силового центра), следует, что ds_F можно положить равной dr. Очевидно, что для силы, направленной к центру (т.е. для случая притяжения частицы к центру), ds_F будет равно –dr (приращению r, взятому с обратным знаком). Соответственно dA равна F(r)dr в случае отталкивания и - F(r)dr в случае притяжения.

Работу на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, взяв интеграл от dA. В результате получим выражение

А₁₂=для случая отталкивания, (5.4)

А₁₂=-для случая притяжения. (5.5)

Оба интеграла зависят только от вида функции F(r) и от пределов интегрирования r₁ и r₂; от формы траектории они никак не зависят. Отсюда заключаем, что силы центрального стационарного поля являются консервативными.

Дата добавления: 2014-01-04