Малые колебания

Колебательное движение, общие сведения о колебаниях

Механические колебания

Лекция 10

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные и т.д.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силой.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и технике часто имеют характер очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим х. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой (в частности прямой) линии, и т.п. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной х: U=U(x). Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция U(x) имеет минимум. Условимся координату х и потенциальную энергию U отсчитывать от положения равновесия. Тогда U(0)=0.

Разложим функцию U(x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь. По формуле Маклорена

U(x)=U(0)+U^I(0)х+1/2 U^II(0)х²

(ввиду малости х остальными членами пренебрегаем). Поскольку U(x) при х=0 имеет минимум, U^I(0) равна нулю, а U^II(0) положительна. Кроме того, по условию U(0)=0. Введем обозначения: U^II(0)=к (к>0). Тогда

U(х)=1/2кх². (10.1)

Выражение (10.1) идентично с выражением для потенциальной энергии деформированной пружины. Найдем силу, действующую на систему:

F_x=- (10.2)

Выражение (10.2) тождественно выражению для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида (10.2), независимо от их природы, называют квазиупругими. Сила, описываемая формулой (10.2), всегда направлена к положению равновесия. Модуль силы пропорционален величине отклонения системы от равновесного положения.

Гармонические колебания

Рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m (рис. 10.1). В положении равновесия сила mg уравновешивается упругой силой кDl₀:

mg=kDl₀ (10.3)

(Dl₀ – удлинение пружины). Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось х направим по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия шарика. Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет равным Dl₀+х и проекция результирующей силы на ось х примет значение F=mg-k(Dl₀+х). Учтя условие (10.3), получим, что

F=-kx. (10.4)

Таким образом, в рассмотренном примере результирующая сила тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.

Сообщим шарику смещение х=а, после чего предоставим систему самой себе. Под действием квазиупругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью v=. При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис.10.2), но зато появится все возрастающая кинетическая энергия Е_к=1/2 m(массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т.е. когда смещение шарика станет равным –а. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от х=а до х=-а неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид

m=-kx. (10.5)

Дата добавления: 2014-01-04