Введя обозначения

(10.6)

преобразуем уравнение (10.5) следующим образом

(10.7)

Поскольку к/m>0, w₀ – вещественная величина.

Итак, в отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (10.7).

Общее решение уравнения (10.7) имеет вид

x =a cos (w₀ t+a), (10.8)

где а и a - произвольные постоянные.

Итак, смещение х изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение системы, находящийся под действием силы вида F=- kx, представляет собой гармоническое колебание.

График гармонического колебания, т.е. график функции (10.8), показан на рис. 10.3. Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда а – постоянная положительная величина.

Величина (wt+a), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постоянная a представляет собой значение фазы в момент времени t=0 и называется начальной фазой колебания. С изменением начала отсчета времени будет изменяться и a. Следовательно, значение начальной фазы определяется началом отсчета времени. Так как значение х не изменяется при добавлении или вычитании из фазы целого числа 2p, всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше p. Поэтому обычно рассматриваются только значения a, лежащие в пределах от -p до +p.

Поскольку косинус – периодическая функция с периодом 2p, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени T, за который фаза колебания получает приращение, равное 2p (рис. 10.2). Этот промежуток времени T называется периодом колебания. Он может быть определен из следующего условия:[w₀ (t+T)+a]=[wt+a]+2p, откуда

T=2p/w₀. (10.9)

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания n. Очевидно, что частота n связана с продолжительностью одного колебания следующим соотношением:

n=1/T. (10.10)

Из (10.9) следует, что

w₀=2p/T. (10.11)

Таким образом, w₀ дает число колебаний за 2p секунд. Величину w₀ называют круговой или циклической частотой. Она связана с обычной частотой n соотношением

w₀=2pn (10.12)

Дата добавления: 2014-01-04