Представление синусоидального тока (напряжения) радиус - вектором

При анализе состояния электрических цепей переменного тока возникает необходимость вычисления суммы или разности колебаний одинаковых частот, но с разными амплитудами и начальными фазами. Решать такую задачу с помощью рассмотренной формы представления (т.е. с помощью тригонометрических функций) достаточно трудно.

Пусть нужно найти ток i(t) = i₁(t) + i₂(t), причем

i₁(t) = I_m1× sin (w t + j₁),

i₂(t) = I_m2× sin (w t + j₂).

Так как частоты колебаний одинаковы, то задача сводится к нахождению суммарных амплитудного значения I_m и начальной фазы j. Если применить для решения известные тригонометрические преобразования, то получим

,

.

Видим, что даже окончательный результат имеет громоздкий и ненаглядный вид.

Значительное упрощение достигается применением графического метода. Векторное представление синусоидальных величин известно из тригонометрии. Синусоидальный ток (напряжение) изображается в виде радиус-вектора, вращающегося против часовой стрелки с частотой w. Длина вектора равна амплитудному значению - I_m. Один оборот вектор совершает, за время периода (рис.2.2).

Положение радиус-вектора относительно оси Х в момент начала отсчета t=0 определяется углом j₁. Проекция вектора на ось Y определяется выражением (2.1).

На одной векторной диаграмме могут быть изображены векторы нескольких колебаний, например i₁(t) и i₂(t) (рис. 2.3). Для упрощения анализа все векторы изображаются в момент времени t=0. Тогда сумма двух векторов определится по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор также вращается относительно начала координат с частотой w, а его проекция на ось Y определяется выражением

i(t) = I_m × sin (wt + j),

где j - положение суммарного вектора относительно оси Х в момент времени t=0.

Простота решения очевидна. Однако графический метод обладает существенным недостатком - низкой точностью. Поэтому его применяют чаще всего для качественного анализа электрических цепей с помощью топографических векторных диаграмм напряжений.

Для построения топографической векторной диаграммы в анализируемой электрической цепи выделяют несколько участков по направлению обхода. Падение напряжения на каждом участке может быть определено вектором. Устанавливая каждый последующий вектор (по направлению обхода) в точку конца предыдущего вектора получим топографическую векторную диаграмму напряжений. Вектор между любым двумя точками этой диаграммы характеризует напряжение между соответствующими точками электрической цепи.

Дата добавления: 2014-01-04