Единственность обратной матрицы

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Ключевые понятия

План

ЛЕКЦИЯ 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.

2. Алгоритм построения обратной матрицы.

Свойства обратной матрицы.

Обратная матрица.

Присоединенная матрица.

В теории чисел наряду с числом определяют число, противоположное ему () такое, что , и число, обратное ему такое, что . Например, для числа 5 противоположным будет число

(– 5), а обратным будет число . Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А). Обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства

, (1)

где Е – единичная матрица порядка n.

Сразу же отметим, что обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A ≠ 0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной (особенной).

Отметим, что невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу . Докажем это утверждение.

Пусть для матрицы А существует две обратные матрицы ,, то есть

и .

Тогда =ּ=ּ() =

= (ּ) ===.

Что и требовалось доказать.

Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.

=1 .

Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.

Дата добавления: 2014-01-04