Свойства обратной матрицы

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Покажем, что, если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.

Пусть

А =, .

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

.

Транспонируя ее, получим так называемую присоединенную матрицу:

.

Найдем произведение ּ. С учетом теоремы Лапласа и теоремы аннулирования:

ּ= =

=.

Делаем вывод:

. (2)

Алгоритм построения обратной матрицы.

1)Вычислить определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

2)Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А матрицу .

3)Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу .

4)По формуле (2) составить обратную матрицу .

5)По формуле (1) проверить вычисления.

Пример. Найти обратную матрицу.

а). Пусть А=. Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то определитель матрицы равен нулю. Следовательно, матрица вырожденная, и для нее не существует обратной матрицы.

б). Пусть А =.

Вычислим определитель матрицы

обратная матрица существует.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

= = ;

транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу

;

по формуле (2) найдем обратную матрицу

==.

Проверим правильность вычислений

=

= = .

Следовательно обратная матрица построена верна.

Дата добавления: 2014-01-04