Теорема кронекера-капелли

СОВМЕСТНОСТЬ СИСТЕМ ЛАУ. РАНГ МАТРИЦЫ.

В предыдущем вопросе было дано определение совместной системы линейных алгебраических уравнений. Исследовать же систему на совместность – это, значит, определить, имеет ли система какое-либо решение (единственное или бесконечное множество).

Введем новые понятия из теории матриц.

Пусть дана матрица общего вида порядка m ´ n:

А=.

Обозначим строки матрицы через , , …, :

= , = , …, = .

Пусть

=,,

=.

Тогда сумма ++…+, , будет называться линейной комбинацией строк () матрицы А.

Если существуют числа , такие что =++…+++...+, то говорят, что строка выражается через остальные строки , , …,, , …,. Строки, , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа

, не все одновременно равные нулю, что ++…+=0, где 0=(0 0 …0). Если же данное равенство выполняется лишь когда все числа =0, , то говорят, что строки , , линейно независимы. Заметим, что, если строки линейно зависимы, то, по крайней мере, одна из них выражается через остальные. Если же строки линейно независимы, то ни одна строка не выражается через остальные. Аналогично вводится понятие линейной зависимости и независимости столбцов.

Введем понятие ранга матрицы.

Рангом r(A) матрицы А называется максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель k-го порядка, построенный из элементов матрицы А, находящихся на пересечении k строк и k столбцов матрицы А. Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы

.

Дата добавления: 2014-01-04