Решение. Матрица А имеет порядок 3х4, следовательно, ранг матрицы

Матрица А имеет порядок 3х4, следовательно, ранг матрицы .

Для определения ранга вначале найдем все возможные миноры третьего порядка: если хотя бы один из них отличен от нуля, значит ранг матрицы А равен трем. Всего имеем четыре минора третьего порядка:

, , , .

Так как достаточно найти среди них хотя бы один отличный от нуля, то выберем тот минор, который содержит большее количество нулевых элементов:

=1ּ

Данный минор будет являться базисным для исходной матрицы.

Если бы все приведенные в примере миноры третьего порядка оказались равными нулю, то это привело бы к рассмотрению миноров второго порядка. Естественно, в этом случае ранг матрицы был бы ниже трех.

Матрицы А и В называются эквивалентными (А~В), если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят:

1) перестановка местами любых двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение каждого элемента строки (столбца) на один и тот же множитель λ ≠ 0;

3) прибавление (вычитание) к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на один и тот же множитель.

Ранги эквивалентных матриц совпадают, то есть ранг матрицы не меняется, если к матрице применить элементарные преобразования 1-3. На этом основан один из методов нахождения ранга матрицы – метод нулей и единиц. Он заключается в том, что при помощи элементарных преобразований матрица сводится к эквивалентной, состоящей только из нулей и единиц. Ранг матрицы будет равен числу единиц в эквивалентной матрице.

Пример. Найти ранг матрицы А методом нулей и единиц (смотри предыдущий пример)

.

Дата добавления: 2014-01-04