Решение. ~ (вычтем из второй строки первую) ~

~ (вычтем из второй строки первую) ~

~ (вычтем из первого и второго столбца третий) ~~

~ (вычтем из второго столбца первый, умноженный на 3)

~~

~ (разделим второй столбец на (-10)) ~ ~ (вычтем из первого столбца второй, умноженный на 3, и из третьего вычтем второй)

~ ~ (вычтем из четвертого столбца третий, умноженный на 2) ~

~~ (вычтем из первого столбца четвертый) ~

~, так как получили три единицы.

Учитывая, что единицы находятся на пересечении первой, второй, третьей строк и второго, третьего и четвертого столбцов, и так как в ходе преобразований мы не меняли местами строки и столбцы, то в качестве базисного минора исходной матрицы А возьмем минор, получаемый из указанных строк и столбцов:

= 0.

Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда А – нулевая матрица. Если хотя бы один элемент матрицы А не равен нулю, то ранг матрицы больше нуля. Таким образом, ранг является еще одной важной характеристикой матрицы. Имеют место следующие утверждения:

1) если ранг матрицы А равен k, то существует ровно k линейно-независимых строк (столбцов), от которых линейно зависят все остальные строки (столбцы), то есть все остальные строки выражаются через эти k линейно-независимых строк;

2) максимальное число линейно-независимых строк матрицы совпадает с максимальным числом линейно-независимых столбцов и равно рангу матрицы.

Пусть дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(1)

Дополним матрицу А системы (1) столбцом свободных членов.

В итоге будем иметь так называемую расширенную матрицу системы (1):

.

Обозначим через r(A) и r(С) ранги матриц А и С соответственно. Сформулируем теорему Кронекера-Капелли, которая определяет условия, при которых система (1) имеет или не имеет решения.

Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной (то есть имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг исходной матрицы системы совпадал с рангом расширенной матрицы, то есть r(A) = r(С).

1) если r(A) = r(С)= n, где n – число неизвестных системы, то данная система имеет единственное решение;

2) если r(A) = r(С) = k < n, то система имеет бесконечное множество решений;

3) если r(A) ≠ r(С), то система несовместна, то есть не имеет решений.

Если число неизвестных больше числа уравнений, то система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество (если r(A) = r(С) = =k < n.)

Пример. Исследовать систему уравнений на совместность

Дата добавления: 2014-01-04