Материал основной части лекции

ПЛАН

Владимир 2012

Л Е К Ц И Я

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для бакалавров направления 080100.62 «Экономика»

Тема № 2. Случайные величины и их законы распределения.

Занятие № 2.8 Закон распределения системы дискретных случайных величин.

Вид занятия: лекция (11)

Литература:

1. Карлов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов: уч.пособие/ А.М.Карлов. – М.: КНОРУС, 2011. – 264 с. (62-73с.)

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов.-12-е изд.,стер.-М.:Юрайт.,2012-479 с. (155-187с.).

проведения занятия

№ п/п	Учебные вопросы занятия	Время, мин.
I. II	Вводная часть: Объявление темы, темы занятия. Постановка учебных целей занятия. Основная часть.	2-3
	1. Общий способ задания закона распределения системы дискретных случайных величин. 2.Частные случаи задания закона распределения системы дискретных случайных величин. 3. Пример определения параметров закона распределения системы двух случайных величин
	Заключительная часть	2-3
	Подведение итогов занятия. Выдача задания на самостоятельную работу.

1. Общий способ задания закона распределения системы дискретных случайных величин

Процессы, происходящие в окружающей нас действительности, представляют собой результат взаимодействия большого количества случайных величин. При изучении сложных процессов приходится рассматривать две, три и более случайные величины, выступающие в системе как единое целое, с учетом их взаимосвязи.

Управление финансовой деятельностью предприятия связано с ис­следованием некоторого комплекса показателей, например таких, какобъем выпускаемой продукции, ее себестоимость, цена и спрос на данную продукцию на рынке.Каждый из названных показателей, например, себестоимость продукции, зависит от множества факторов и для каждого предприятия является случайной величиной. Кроме того, можно видеть, что рассматриваемые показатели являют ся зави­симыми друг от друга случайными величинами.

Рассмотрим способы задания законов распределения системы случайных величинна примере двух дискретных случайных величин X и Y, область возможных значений которых задана соответственно дискретными множествами x₁, х₂, х₃,..., x_i..., х_n и y₁, у₂, у₃,..., y_j,......, у_m. Для рассматриваемой системы двух случайных величин воз­можные исходы характеризуются совместным появлением двух зна­чений случайных величин х_i и y_j, где i принимает значения от 1 до п, a j от 1 до т. Общее число возможных исходов будет равно п∙т. Для веро­ятностного описания системы двух случайных величин должны быть заданы все совместные вероятности,характеризующие вероятность того, что случайные величины Х и Y примут значения, соответственно равные x_i и у_j;

P(X= x_i; Y=y_J) = р_ij. (1)

Закон распределения системы случайных величин, устанавливаю­щий соответствие между возможными их значениями х _i и y_j и вероят­ностью появления этих значений, может быть задан в табличном виде (табл. 1).

Таблица 1.

Закон распределения системы двух случайных величин

В соответствии с теорией сложения вероятностейзакон распреде­ления вероятностей двух дискретных величин должен удовлетворять следующим свойствам.

При суммировании совместных вероятностей (1)по всем воз­можным значениям x_i, мы получим вероятность того, что случайная величина Y примет значение y_i:

(2)

В соответствии с выражением (2)для получения вероятности появления значения у₂ случайной величины Y нужно просуммировать вероятности p_2i, входящие во вторую строку табл. 1.

Аналогично при суммировании совместных вероятностей (1) по всем возможным значениям y_i мы получим вероятность того, что случайная величина X примет значение х_i:

(3)

В соответствии с выражением (3)вероятность Р(Х=x_i ) можно получить суммированием всех вероятностей p_Ji, входящих в первый столбец табл. 1.

При суммировании совместных вероятностей (1) по всем воз­можным значениям х _i и у _j, в соответствии с условием нормировки,мы получим единицу:

В соответствии с теоремой умножения вероятностейпо заданному закону распределения системы случайных величин X и Y (табл.1)можно найти условные вероятности:

(4)

(5)

Условная вероятность p(x_i/y_j) характеризует вероятность того, чтослучайная величина X примет значение х _i при условии, что случай­ная величина Y уже равна (приняла значение) у_j.

Сравнивая значения р(х_i) и p(y_j), вычисленные по формулам (2) и (3),с соответствующими значениями условных вероятностей p(x_i/y_j) и p(y_j/x_i), можно судить о том, являются ли случайные величины Х и Y зависимыми между собой.

При р(х_i) = p(x_i/ y_j) или p(y_j) = p(y_j/x_i) случайные величины Х и Y не­зависимы.Если указанные равенства не выполняются, то случайные величины будут зависимы друг от друга.

Условные вероятности (4) и (5) должны удовлетворять усло­вию нормировки:

Это свойство легко доказывается с учетом формул (2) – (5). Например,

Знание условных вероятностей (4) и (5)дает возможность вы­числитьусловное математическое ожидание и условную дисперсию:

(6)

(7)

Равенство m_х(у) = m_x/yi говорит о том, что условное математическое ожидание m_x/yi зависит от значений случайной величины Y. То есть условное математическое ожидание m_х(у) = m_x/yi является функцией ар­гумента y.Аналогичноусловное математическое ожидание m_у(х) = m_у/хi есть функция аргумента х, т.е. зависит от значений случайной величи­ны X.

Уравнение m_x/yi = m_х(у) называютуравнением регрессии случай­ной величины Y на случайную величину X.Аналогичноуравнение m_y/xi = m_у(х) называют уравнением регрессии случайной величины X на случайную величину Y.

Пример графического изображения линий регрессии, построенных по данным уравнениям, показан на рис.1.

Рис.1. Графическое изображение линии регрессии случайных величин

Взаимное расположение линий регрессиихарактеризуетстепень зависимости одной случайной от другой. Если случайные величины X и У независимы друг от друга,то выполняются равенства:

на основе которых видно, чтоусловные математические ожидания равны безусловным:

Для независимых случайных величин X и Y линии регрессии будут параллельны осям х и у. Помимо условных вероятностей и условных математических ожиданий, для количественной характеристики сте­пени взаимосвязи между случайными величинамииспользуют сме­шанный центральный момент второго порядка,который называют корреляционным моментом и определяют по формуле

(8)

Если перемножить два выражения в скобках и провести усреднение полученных слагаемых, получим более удобную формулу для опреде­ления корреляционного момента:

Суммыво втором и третьем слагаемыхданной формулысоответ­ственно равны т_у и т_х, поэтомудля корреляционного момента полу­чим:

(9)

Используя формулу произведения вероятностей для зависимых случайных величин

в формуле (9), можно избавиться от двойной суммы:

Вторая сумма в вычитаемомравна условному математическо­му ожиданию т_у/хi. С учетом этогодля корреляционного момента по­лучим более простую формулу:

(10)

Аналогично можно показать, что

(10а)

Полученные формулы (10) и (10а) позволяют упростить вычисление корреля­ционного момента при известных значениях условных математиче­ских ожиданий.

Дата добавления: 2014-01-04