Определить закон распределения случайных величин ХиУ

Частные случаи задания закона распределения системы дискретных случайных величин

1. Если случайные величины X и Y независимы друг от друга, то в соответствии с теоремой умножения вероятностей совместная вероятность p _ji будет равна произведению вероятностей р(x_i) и p(у_j). С учетом этогодля корреляционного момента получим:

Таким образом, для независимых случайных величинкорреляци­онный момент равен нулю.

2. Если случайная величина Y имеет прямую зависимость от X, т.е. Y=X, то в этом случае т_у = т_х. Производя в формуле (8) соответ­ствующие подстановки для корреляционного момента, получим:

(11)

Таким образом,при ( Y = X) корреляционный моментлинейно за­висимых случайных величин Х и Y имеет максимальное значение, рав­ноедисперсии.

3. Когда случайные величины X и Y связаны обратной линей­ной зависимостью, например X = -Y, то, в отличие от предыдущего случая, увеличение значений случайной величины X приводит к уменьшению случайной величины Y. Для математических ожиданий можно за­писать: т_х = - т_у. Производя в формуле (8) соответствующие подстановки для корреляционного момента, получим:

(12)

Таким образом, при обратной линейной зависимости случайных величин (X =-Y) корреляционный моментотрицательныйи имеетминимальное значение, по абсолютной величинеравное дисперсии.

Из рассмотренных частных случаев наглядно видно, чтокорре­ляционный моментдает количественную оценку степени линей­ной взаимосвязи между значениями случайных величин. Из формул (9) и (10) следует также, чтокорреляционный моментзависит от дисперсий (среднеквадратичных отклонений) случайных величин. Чем больше разброс возможных значений случайных величин Х и Y от математических ожиданий, тем больше по абсолютной величинемаксимальное и минимальное значение корреляционного момента.

Для того чтобы исключить зависимость корреляционного момента от среднеквадратичных отклонений случайных величини оставить только количественную зависимость,характеризующую их степень линейной взаимосвязи,используют понятиекоэффициента корреля­ции , который определяется как нормированное к среднеквадратич­ным отклонениям и значение корреляционного момента:

(13)

Из формул (11) — (13) следует, чтокоэффициент корреляции может принимать значения в интервале .

Если случайные величины Х и Y независимы, то = 0.

Можно показать, чтопри Y= аХ+ b (прямая линейная зависимость) = 1, а при Y=-аХ+ b (обратная линейная зависимость) = - 1.

3. Пример определения параметров закона распределения системы двух случайных величин

Пример.Закон распределения системы двух дискретных случай­ных величин Х и У приведен в табл. 2.

Таблица 2.

Закон распределения двух случайных величин

Необходимо:

Дата добавления: 2014-01-04