Определить условные математические ожидания и построить линии регрессии одной случайной величины на другую

Выяснить по условным вероятностям, являются ли случайные величины зависимыми или независимыми.

4. Вычислить коэффициент корреляции случайных величин Х и Y.

Решение. 1. Для определения законов распределения случайной ве­личины Xвоспользуемся формулой № 3 данной лекции.Для вероятности Р(Х = 2) получим:

Производя аналогичные вычисления для Р(х₂), Р(х₃), Р(х₄) и Р(х₅),полученные значения занесем в табл. 3, которая определяет закон распределения случайной величины X.

Таблица 3.

Закон распределения случайной величины X

При правильном вычислении они должны удовлетворять условию нормировки Вычислим значения математического ожидания и дисперсии случайной величины Xсоответственно по известным формулам их вычисления для дискретных случайных величин(Примечание:Дисперсию будем вычислять по формуле её вычисления для практики):

Вероятности P(y_j),определяющие закон распределения случайной величины Y,вычисляются по формуле № 2 данной лекции. Для вероятности Р(у₁) получим:

Аналогично вычисляются вероятности всех возможных значе­ний случайной величины Y.Результаты вычислений приведены в табл. 4.

Таблица 4.

Закон распределения случайной величины У

Из таблицы следует, что для полученных значений P(y_j) условие нормировки выполняется.

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадра­тичное отклонение случайной величины Y:

2. Вычислим условные вероятности P(x_i / y_j). Для этого воспользу­емся формулой (4) и табл. 2 и 4 (см. данную лекцию):

Аналогично вычисляются и другие условные вероятности.Резуль­таты вычисления по формуле (4) и P(y_j /x_i) по формуле (5) представлены в табл. 5 и 6.

Таблица 5.

Значения условных вероятностей P(x_i/y_j)

Таблица 6.

Значения условных вероятностей P(y_j /x_i)

Правильность вычисления P(x_i/y_j) и P(y_j/x_i ) можно проверить по условию нормировки, в соответствии с которымсумма условных вероятностей по каждой из строк табл. 5 и 6 должна быть равна единице.

Из полученных значений условных вероятностей следует, что P(x_i/y_j) имеет различные значения для различных значений y _j и не выполняется условие:

Из этого следует, что случайные величины X и У являются зависи­мыми.

3. Для определения условных математических ожиданийвосполь­зуемся формулами (6) и результатами расчетов условных вероятно­стей, представленных в табл. 5 и 6:

Используя таблицу 5,аналогично вычисляются остальные зна­чения условного математического ожидания m_х(у). Результаты расче­тов приведены в табл. 7.

Таблица 7.

Математическое ожидание m_х(у)

Расчеты условного математического ожидания m_у(х) производятся аналогично с использованием табл. 6. Полученные результаты при­ведены в табл. 8.

Таблица 8.

Математическое ожидание m_y(х)

По результатам расчетов, представленных в табл. 7 и 8,на рис. 1 (см.лекцию) приведено графическое изображениелиний регрессии случайных величин Х и Y. По взаимному расположению линий регрес­сии можно предположить, что между случайными величинами X и Y наблюдается очень слабая взаимная связь:

4. Для количественной оценки степени линейной взаимосвязи между случайными величинами X и Yвычислим коэффициент кор­реляции .Для этого сначалавычислим по формуле (10) значение корреляционного момента .При вычислениях воспользуемся ре­зультатами вычислений, приведенных в табл. 4 и 7:

С учетом вычисленных значений среднеквадратичных отклоненийдля коэффициента корреляции получим:

Так как имеет значение, близкое к нулю, можно сделать вывод о том, чтослучайные величины X, Y слабо зависимы друг от друга.

Автор: к.т.н., доцент В.Е.Куприянов

28.08.2012г.

Дата добавления: 2014-01-04