Основные свойства определителей

Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

=

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

.

Доказательство.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Доказательство.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство.

Свойство 7.

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство следует из свойств 7 и 5.

Элементарные преобразования мат-ц.

1.перестановка строк() местами.

2.пребавление одной строки() к другой.

3.умножение строки на число не=0.

Вычесление опредилителя п-го порядка.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Определителем квадратной матрицы называется число, получаемое из ее элементов по определенному правилу.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы A n-ого порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j :

.

Минором элемента матрицы A n-ого порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определителем матрицы первого порядка называется элемент и обозначается .

Определитель матрицы A n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

(разложение по элементам i–ой строки; i=1,2,…n);

(разложение по элементам j–го столбца; j=1,2,…n)

Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Этот метод является универсальным потому, что позволяет решать системы любого числа уравнений с любым числом неизвестных, а если система не имеет решения, то метод позволяет установить это в ходе решения.

Сущность метода в том, что посредством элементарных преобра-зований система приводится к равносильной системе ступенчатого вида, за к-шагов.

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Обратная матрица.

Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство.

1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:

.

Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

=. Теорема доказана.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Лекция 3

СЛАУ.

Определение. Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Определение Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.

Определение Линейным уравнением называется уравнение вида

(2.1)

где и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Определение. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Ах=В х=А\В

1.если А=0,В не=0-решений нет.

2.А=0,В=0-бесконечное множество решений.

3.А не=0 х=А\В.

Определение. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

(2.2)

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

СЛАУ наз. совместн. если сущ. хотя бы одно решение этой системы, если решений нет- несовместной.

Если СЛАУ имеет 1 решение, то она наз. определенной, если больше, то неопределенной.

Определение Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему: Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения элементов j-го столбца

Сложив затем все уравнения, получим:

. (2.5)

Отметим, что .

(j-й столбец)

(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при и равен при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2 ,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6). Разделив все уравнения на , найдем единственное решение: .

Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид: .

В этом случае, если все =0, система выглядит так: и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

Дата добавления: 2014-01-04