T-критерий для связанных (зависимых) измерений

Тема 10 Оценка достоверности различий при повторных измерениях

С целью оценки достоверности сдвига значений в зависимых выборках используют t-критерий Стьюдента для зависимых измерений. Критерий для связанных выборок имеет следующую формулу:

,

где М_d – среднее арифметическое разностей индивидуальных значений, а σ_d - стандартное отклонение значений разностей. Количество степеней свободы df = n-1.

Следующий пример демонстрирует алгоритм расчета критерия. Перед началом первого учебного года был измерен уровень интеллекта у группы студентов. В начале второго учебного года при помощи параллельной методики вновь был измерен уровень интеллекта. Поскольку можно использовать результаты только одних и тех же людей, из дальнейшей обработки были исключены результаты тех студентов, которые оставили обучение в институте (которые не подверглись обследованию на фазе заключительных срезов). Можно ли сказать, что за год обучения интеллектуальный уровень студентов значимо изменился?

8. Формулируются статистические гипотезы.

Н₀: сдвиг между показателями начальных и конечных срезов значимо не отличается от нуля.

Н₁: сдвиг между показателями начальных и конечных срезов значимо отличается от нуля.

n	Начальный срез (xi)	Конечный срез (yi)	di = yi - xi	di - Md	(di - Md)^2
				10,58	111,94
				-4,42	19,54
				4,58	20,98
				-2,42	5,86
				3,58	12,82
				3,58	12,82
			-9	-13,42	180,10
				0,58	0,34
				-1,42	2,02
				5,58	31,14
				1,58	2,50
			-4	-8,42	70,90
n=12			Σdi = 53		Σ = 470,92

М_d = Σd_i / n = 4,42

σ_d = = 6,54

t_эмп = = 2,341

df = 12 - 1 = 11

В нашем примере t_кр при df = 11 составляет 2,201 при р ≤ 0,05. Таким образом,
t_эмп > t_кр (р ≤ 0,05) ¹> H_0, Þ Н₁! _{ст. зн}.

То есть, мы можем принять на уровне статистической значимости гипотезу о достоверности сдвига значений интеллекта за год обучения.

Т-критерий Вилкоксона (ранговый критерий для повторных измерений)

Т-критерий Вилкоксона используется для решения тех же задач, что и t-критерий Стьюдента для связанных выборок. Отличие состоит в том, что Т-критерий Вилкоксона можно применять для порядковых данных, и исходные распределения не обязательно должны быть нормальными.

Формула имеет вид: Т = ΣRr. Где ΣRr – сумма нетипичных рангов.

Пояснить алгоритм расчета можно на следующем примере. Допустим, в кабине самолета (и на тренажере) изменили эргономическую среду. Для выполнения определенной задачи летчик раньше тратил одно количество секунд, а в новой среде он на выполнение тех же действий тратит другое количество времени. Таким образом, были сделаны замеры у 10 летчиков. Определить достоверность преобладания сдвига значений в направлении одной из сторон при условии, что результаты второго среза обусловлены исключительно изменением эргономической среды.

Формулируются статистические гипотезы.

Н₀: преобладание сдвигов между начальными и конечными показателями в одном из направлений значимо не отличается от нуля.

Н₁: преобладание сдвигов между начальными и конечными показателями в одном из направлений значимо отличается от нуля.

Определяются величины сдвигов между начальными и конечными показателями, затем они переводятся в абсолютные значения и ранжируются по принципу «меньшему значению – меньший ранг». Затем выделяются нетипичные (чья направленность отличается от большинства) ранги и подсчитывается их сумма.

n	Начальные показатели	Конечные показатели	Разность показателей (d)	Абсолютное значение разности	Ранг разности
			-5		4,5
					6,5
			-6		6,5
					2,5
					2,5
			-5		4,5

Следует обратить внимание: в нашем примере одно из значений d равно 0. Поэтому при ранжировании разностей мы присваиваем ему нулевой ранг.

В таблице нетипичные ранги выделены жирным шрифтом. Сумма нетипичных рангов равна искомому эмпирическому значению. Т_эмп = 4,5+6,5+4,5=15,5

Для Т-критерия Вилкоксона правило принятия-отвержения нулевой гипотезы следующее: Т_эмп ≤ Т_кр Þ Н₁!

Следует дополнительно добавить, что этот критерий может быть односторонним (если направление сдвигов предсказывается) и двусторонним (если мы не предсказываем направление сдвигов). Уровни значимости для одностороннего и двустороннего критерия различны.

В нашем случае мы имеем дело с двусторонним критерием, так как предварительно не предсказывали направление различий. Для n = 10 критическое значение при (р ≤ 0,05) составляет 10. То есть Т_эмп > Т_кр (р ≤ 0,05) Þ Н₀! Мы можем констатировать, что достоверность преобладания сдвигов ни в одном из направлений не установлена. Возможно, что мы могли бы опровергнуть нулевую гипотезу, если бы увеличили количество наблюдений.

Задания для самостоятельной работы.

1. Группе студентов перед прохождением тренинга было предложено протестироваться при помощи методики САН (самочувствие, активность, настроение). После тренинга данным студентам предложили пройти повторное тестирование этой же методике. Результаты приведены в таблице.

№	до тренинга	после тренинга

Можно ли утверждать, что работа на тренинге помогла студентам улучшить их функциональное состояние? Визуальный анализ данных позволяет сказать, что сдвиг показателей действительно имел место. Но насколько достоверен этот сдвиг? Для выполнения задания использовать t-критерий Стьюдента.

2. В группе студентов был проведен тренинг креативного мышления. Перед тренингом и после него были сделаны тестовые срезы по параллельным формам теста Й Ниссинена и Э. Воутилайнена (методика изучения творческого потенциала). Данные срезов сведены в таблицу. Определить результативность стимульного воздействия, при этом для решения задачи использовать Т-критерий Вилкоксона.

№	до тренинга	после тренинга

Дата добавления: 2014-01-04