Матричный метод

Методы решения СЛАУ

Эквивалентные СЛАУ

Напомним следующее свойство СЛАУ. Если

- переставить местами уравнения,

- умножить любое уравнение системы на ненулевое число,

- заменить какое-либо уравнение суммой этого уравнения с другим уравнением системы,

- внести в систему или вычеркнуть из системы уравнение, представляющее собой тождество,

- вычеркнуть из системы одно из пропорциональных уравнений,

то полученная после одного или нескольких таких преобразований система будет иметь то же решение, что и исходная или являться несовместной, как и исходная.

Системы, множество решений которых совпадает, называются эквивалентными.

Рассмотрим квадратную (число уравнений равно числу неизвестных), невырожденную () СЛАУ . При указанных условиях существует матрица, обратная к . Чтобы найти неизвестную , умножим обе части слева на . Тогда

Отсюда получим формулу для отыскания :

Пример 1.7. Решить СЛАУ

Решение. Обозначим

.

Для отыскания можно применить полученную выше формулу, т.к. основная матрица системы – квадратная, и ее определитель – основной определитель – (см. пример 1.6). Таким образом

(матрица была найдена в примере 1.6).

Ответ: .

Убедимся в правильности результата – подставим в каждое уравнение системы:

.

Все уравнения обратились в тождества, что и требовалось доказать.

Замечание. Ответ к задаче можно дать в другом виде: или просто

Дата добавления: 2014-01-04