Пространство

Последовательность из действительных чисел, расположенных в определенном порядке, называется - мерным вектором. Совокупность всех -мерных векторов () обозначим . Введем в операции сложения и умножения на вещественное число поэлементно: ,

нуль-вектором назовем вектор, все координаты которого равны нулю: .

Множество, на котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие обычным свойствам арифметических действий, называется линейным пространством. Таким образом, множество с введенными выше операциями является линейным пространством.

Совокупность из векторов пространства будем называть линейно независимой, если их линейная комбинация

(*)

лишь при условии . В противном случае, т.е. если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется равенство (*), совокупность назовем линейно зависимой.

Так, например, векторы в пространстве являются линейно зависимыми, т.к. существует их нетривиальная (не все равны нулю) линейная комбинация, равная нуль-вектору: .

Обозначим – вектор из , все координаты которого равны нулю, за исключением - ой, которая равна :

.

Эта система векторов линейно независима, и любой вектор единственным образом можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

Дата добавления: 2014-01-04