Электродинамика

(Явление электромагнитной индукции. Клас­сические опыты Фарадея. Основной закон электромагнитной индукции. Индукцион­ные токи. Правило Ленца. Токи Фуко. Электродвижущая сила индукции. Явление самоиндукции. Зависимость ЭДС самоиндукции от скорости изменения силы тока в контуре. Индуктивность. Индуктивность соленоида. Установление и исчезновение токов в цепи при наличии индуктивности. Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля. Взаимная индукция. Практические применения явления электромагнитной индукции. Генераторы переменного и постоянного тока. Трансформаторы.)

Электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции

В 1831 году М.Фарадей открыл, что во всяком замкнутом проводящем контуре, при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток.

Это явление называется явлением электромагнитной индукции, а возникающий ток называется индукционным током.

Величина индукционного тока не зависит от способа, которым изменяется магнитный поток и определяется лишь скоростью изменения магнитного потока , т.е. определяется производной от потока магнитной индукции по времени ‑ . При изменении знака производной направление тока также меняется на противоположное.

Направление индукционного тока определяется правилом Ленца.

Индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызвавшей.

Или, несколько другая формулировка, поскольку все обусловлено магнитным полем.

Магнитное поле возникающего индукционного тока стремится препятствовать, вызвавшему его, изменению магнитного потока.

Необходимо отметить, что это правило является прямым следствием закона сохранения энергии.

Действительно, рассмотрим постоянный магнит, создающий магнитное поле, индукцией , и проводящий контур, замкнутый на гальванометр (см. рис. 3.24). Гальванометр ‑ это прибор, служащий для регистрации наличия тока и его направления. Будем, например, вдвигать магнит в контур. При этом, очевидно, площадь контура не меняется ‑ . Но индукция поля увеличивается ‑ (т.к. магнит приближается к контуру). Следовательно, увеличивается и магнитный поток, пронизывающий контур , следовательно, изменение магнитного потока положительно ‑ .

Согласно явлению электромагнитной индукции в контуре, при вдвигании магнита, возникает индукционный ток. Контур с током возбудит магнитное поле, с индукцией . Предположим, что индукционный ток имеет направление, показанное на рисунке. Тогда магнитное поле контура будет направлено против поля магнита , т.е. контур стремится вытолкнуть магнит. При этом, вдвигая магнит, мы совершаем работу против сил отталкивания, за счет которой и происходит нагрев проводника при протекании индукционного тока. В этом и состоит правило Ленца.

Предположим теперь, что индукционный ток имел бы противоположное направление. Тогда возбуждаемое им магнитное поле имело бы противоположное направление, и магнит втягивался бы в контур. Причем его скорость увеличивалась бы, возрастала бы и его кинетическая энергия. Встает вопрос, а за счет работы какой внешней силы возрастала бы кинетическая энергия магнита? Кроме того, при протекании индукционного тока контур нагревается. А эта тепловая энергия возникает за счет чего?

В то время как в первом случае все ясно. Мы преодолеваем силы отталкивания между контуром и магнитом, т.е. совершаем работу, вдвигая магнит. Эта работа идет на увеличение энергии проводника, на его нагревание, на отклонение стрелки гальванометра и т.д.

ЭДС индукции

Рассмотрим, также как и при выводе выражения для работы перемещения контура, плоский контур, содержащий источник ЭДС, одна сторона у которого подвижна (см. рис. 3.25).

Источник с ЭДС равной создает в контуре ток , развивая при этом мощность, равную . Эта мощность переходит в тепло, согласно закону Джоуля-Ленца ‑ . На основании закона сохранения энергии запишем:

Возбудим теперь однородное магнитное поле, направленное от нас за чертеж. Вектор совпадает с положительной нормалью к контуру , поэтому магнитный поток положителен. Согласно закону Ампера, каждый элемент контура будет испытывать силу со стороны магнитного поля. Подвижная сторона контура будет испытывать результирующую силу . Позволим теперь подвижной стороне перемещаться под действием этой силы вправо с постоянной скоростью .

При этом, поскольку существует явление электромагнитной индукции (ведь у нас меняется магнитный поток через замкнутый контур), ток в контуре изменится, и станет . Соответственно изменится и результирующая сила, действующая на подвижную сторону. Она станет .

Эта сила за время совершит работу , равную:

Но согласно закону Ампера, эта сила равна:

Следовательно, выражение для работы примет вид:

т.е. ранее полученный результат.

Как и в случае неподвижных элементов контура, источником работы является источник тока, источник ЭДС.

В случае неподвижных элементов контура, вся работа, совершаемая источником ЭДС, превращается в тепло.

В случае движущейся стороны, ленц-джоулево тепло будет также выделяться, но другое, поскольку . И, кроме того, будет совершена еще и механическая работа , выражение для которой мы определили выше.

Согласно закону сохранения энергии, теперь мы должны записать:

Отсюда получим:

Сравнивая получившееся выражение с законом Ома для полной цепи ‑ , приходим к выводу, что результирующая ЭДС, действующая в контуре, равна:

Таким образом, мы получаем, что ЭДС индукции равна:

(3.29)

где знак «‑» отражает правило Ленца.

Электронный механизм возникновения ЭДС индукции

Опять рассмотрим вышеприведенный контур, изображенный на рис. 3.26. Но теперь будем полагать, что источника нет. Т.е. существует контур с подвижной стороной в магнитном поле (см. рис. 3.26).

В отличие от предыдущего случая, будем перемещать подвижную сторону с некоторой скоростью . При этом на заряды внутри подвижной стороны (ведь это проводник и в нем существуют подвижные заряды), будет действовать сила Лоренца, направленная вдоль проводника:

Сравнивая это выражение с выражением для силы, действующей на заряд, помещенный в электрическое поле напряженностью ‑ , приходим к выводу, что действие этой силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью

Это поле не электростатического происхождения, поэтому его циркуляция по замкнутому контуру отлична от нуля и, согласно (2.8) даст величину ЭДС индукции:

Т.е., с точностью до знака получили тот же самый результат.

Остановимся на некоторых моментах.

1. Выше мы говорили, что действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля.

Это не просто поверхностная аналогия. Это заключение имеет глубокий физический смысл.

В самом деле, перейдем в систему отсчета, связанную с движущимся проводником. Тогда мы скажем, что силы Лоренца нет, поскольку заряды в этой системе отсчета покоятся. Но в то же время существует электрическое поле, под действием которого заряды движутся.

При этом мы должны будем признать, что это электрическое поле обусловлено движущимся магнитным полем (ведь в этой системе отсчета магнитное поле движется).

Таким образом, уже сейчас мы приходим к выводу, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Т.е приходим к представлению о взаимосвязи полей и и о их неразрывном единстве.

2. Ранее мы подчеркивали и говорили о том, что сила Лоренца работы не производит.

В то же время здесь мы считаем ЭДС индукции, которая является мерой работы, исходя из выражения для силы Лоренца. В чем же дело?

Дело в том, что в расчетах мы брали не всю силу Лоренца, а только продольную (вдоль движущейся стороны) составляющую силы: . В действительности, поскольку заряды движутся вдоль проводника со скоростью упорядоченного движения (электрический ток), существует еще поперечная составляющая силы Лоренца (которая не сказывается на ЭДС, см. рис. 3.27). Следовательно, полная сила Лоренца будет равна:

Выражение для работы этой силы можно представить как:

Второе слагаемое взято со знаком минус, поскольку сила направлена против скорости, против перемещения. Подставив выражения для сил и в выражение для работы , получим:

Т.е. действительно, работа полной силы Лоренца равна нулю, что и следовало ожидать.

3. Работа в контуре совершается за счет работы внешних сил, которые перемещают подвижную сторону. Т.к. подвижная сторона перемещается с постоянной скоростью, то ее ускорение равно нулю, и сумма всех приложенных к стороне сил равна нулю. Следовательно, выражение для внешних сил будет иметь вид:

где ‑ сила, действующая на отдельную заряженную частицу (см. рис. 3.27), ‑ концентрация частиц ‑ число частиц в единице объема проводника, ‑ объем подвижной стороны.

Эта работа, согласно закону сохранения энергии, должна идти на выделение ленц-джоулева тепла. Действительно:

Подставим выражение для :

Здесь объем подвижной стороны мы представили как: . Но тогда произведение даст величину силы тока , так как плотность тока . Таким образом, выражение для работы внешних сил преобразуется к виду:

Где согласно выше показанному .

Таким образом, мы получили, что работа внешних сил равна работе ЭДС индукции.

Взаимная индукция

Итак, в замкнутом контуре возникает ЭДС индукции , определяемая по закону:

Т.е. ЭДС индукции может возникать либо за счет изменения площади контура , либо за счет изменения индукции магнитного поля .

Поскольку магнитное поле может возбуждаться токами, текущими в каких либо проводниках, изменение индукции магнитного поля можно получить за счет изменения токов. Причем эти токи могут течь как в других контурах, так и в самом рассматриваемом контуре.

Если изменение индукции магнитного поля, соответственно и изменение магнитного потока, создается другим, по отношению к исследуемому, контуром, то говорят о взаимной индуктивности контуров, которую характеризуют коэффициентом взаимной индуктивности .

Если же изменение индукции магнитного поля создается током, текущим в самом исследуемом контуре, то говорят о самоиндукции контура, которую характеризуют коэффициентом самоиндукции .

Вначале мы рассмотрим явление взаимоиндукции контуров, проводников.

Итак, имеются два, находящиеся недалеко друг от друга контура (см. рис. 3.28).

В цепь контура включен источник тока , который включается ключом . Сила тока в контуре изменяется с помощью реостата . При этом в контуре течет ток . Этот контур , по которому течет ток , создает вокруг себя магнитное поле с индукцией .

В месте нахождения -го контура, магнитный поток, создаваемый -м контуром равен . Поскольку индукция поля прямо пропорциональна току , текущему в первом контуре, то и магнитный поток будет прямо пропорционален току ‑ . Чтобы записать знак равенства, введем коэффициент пропорциональности, который обозначим как :

Здесь ‑ коэффициент взаимной индуктивности или взаимная индуктивность контуров и .

Взаимная индуктивность (коэффициент взаимной индуктивности) численно равен потоку магнитной индукции, создаваемому во втором контуре, если ток в первом контуре равен единице.

Размерность коэффициента взаимной индукции:

В СИ единица индуктивности имеет специальное наименование ‑ генри ‑ . Как мы выяснили ранее, размерность единицы индукции магнитного поля равна . Следовательно, размерность индуктивности будет иметь вид: . Это другой вид размерности индуктивности. Отсюда вытекает, что . При изучении закона Ампера, мы установили, что магнитная постоянная имеет размерность . Сравнивая два последних выражения, мы приходим к выводу, что размерность магнитной постоянной можно представить в виде: . Это более употребительная форма размерности магнитной постоянной, так как в таком виде она симметрична размерности электрической постоянной .

Далее, возвращаясь к взаимодействующим посредством магнитного поля контурам, можно рассуждать и наоборот. Во втором контуре имеется источник тока, второй контур создает магнитное поле и т.д. В результате мы придем к аналогичной формуле:

Из соображений симметрии ясно, но это можно и показать, что для одних и тех же двух контуров коэффициенты взаимной индуктивности и равны друг другу. Т.е. в действительности есть лишь взаимная индуктивность контуров:

И для магнитного потока, создаваемого током , можно записать общее выражение:

(3.30)

Т.о., во втором контуре возникает ЭДС индукции, равная:

Если контуры неподвижны друг относительно друга и если не меняется их конфигурация, то:

Здесь необходимо отметить еще следующее обстоятельство. Очевидно, что коэффициент взаимной индуктивности зависит от магнитных свойств среды, вмещающей контура. А магнитные свойства среды в общем случае зависят от магнитного поля, существующего в среде (например, ферромагнетики). Т.е., в конечном счете, от тока , т.е. от времени. Следовательно, в этом случае (ферромагнетики) , даже, если площадь контуров постоянна.

Исходя из последней формулы, можно дать другое определение коэффициенту взаимной индуктивности.

Коэффициент взаимной индуктивности двух контуров численно равен ЭДС индукции, возникающей в одном из контуров, при изменении силы тока в другом на единицу за единицу времени.

Для многосвязанных контуров магнитный поток увеличивается в раз, где ‑ число витков многосвязанных контуров. При этом вместо потока рассматривают величину ‑ потокосцепление, равную:

Коэффициент взаимной индукции двух контуров

Найдем коэффициент взаимной индукции двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник.

Мы уже показывали, что индукция магнитного поля тороида (3.17), приближенно может быть определена по формуле для магнитного поля соленоида (3.16):

Здесь ‑ ток, текущий через первую катушку, ‑ число витков на единицу длины первой катушки. Если магнитная проницаемость сердечника (об этой физической величине мы поговорим более подробно несколько позже), то индукция магнитного поля в сердечнике будет равна:

Здесь ‑ число витков первой катушки, ‑ длина тороида по средней линии. В этом случае, магнитный поток в сердечнике будет равен:

где ‑ площадь поперечного сечения сердечника тороида.

Поток магнитосцепления , пронизывающий вторую катушку, будет равен:

В этом случае, по определению:

(3.31)

Трансформатор

Такие две катушки на общем сердечнике называются трансформатором (см. рис. 3.30). Впервые его применил в 1876 г Яблочков.

Для первичной катушки, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

Здесь ‑ внешняя ЭДС, подключена к первичной катушке трансформатора, ‑ ток, протекающий в первичной катушке, ‑ сопротивление провода, которым намотана первичная катушка, ‑ падение напряжения на сопротивлении катушки.

При этом различают омическое сопротивление катушки ‑ сопротивление, которое оказывает катушка прохождению через нее постоянного тока. И индуктивное сопротивление катушки ‑ сопротивление, которое оказывает катушка протеканию через нее переменного тока. Частота колебаний тока в промышленной сети ‑ . Для силовых трансформаторов включаемых в такую сеть, индуктивное сопротивление чрезвычайно мало, по сравнению с омическим, поэтому в данном случае этим сопротивлением пренебрегают.

Кроме того, обычно в катушках используют провод с малым удельным сопротивлением (медь). Поэтому и омическое сопротивление катушки мало, также мало и падение напряжения на ней. Поэтому правило Кирхгофа в этом случае будет иметь вид:

Аналогичное соотношение можно записать и для вторичной катушки:

Отсюда ‑ . Используя закон сохранения энергии, обычно записывают еще одно соотношение ‑ .

Таким образом, мы видим, что не зря трансформатор назвали трансформатором ‑ преобразователем. Он действительно преобразуют электрическую энергию первичной катушки, по которой течет ток силы и в которой действует ЭДС индукции , в электрическую энергию вторичной катушки, но уже с другим током и другим значением ЭДС индукции .

Однако необходимо иметь ввиду, что это ‑ простейшие рассуждения о работе трансформатора. При этом, если мы считаем что мощность, развиваемая в первичной катушке равна мощности вторичной катушки, то мы полагаем тем самым, что КПД трансформатора равен единице, что выполняется далеко не всегда.

Явление самоиндукции

Рассмотрим теперь второй случай, когда поток магнитной индукции создается током, текущим в самом контуре. По аналогии с предыдущим, запишем сразу:

(3.32)

где ‑ коэффициент самоиндукции, или индуктивность контура.

Коэффициент индуктивности (индуктивность) численно равен создаваемому потоку магнитной индукции, если ток в контуре равен единице. Индуктивность также измеряется в генри.

Найдем выражение для коэффициента самоиндукции.

Рассмотри соленоид с числом витков . Действие соленоида самого на себя, должно быть таким же, как действие этого соленоида на другой соленоид, точно такой же. Отсюда, используя значение коэффициента взаимной индукции двух катушек трансформатора, мы получим значение коэффициента самоиндукции соленоида, полагая :

(3.33)

Следовательно, выражение для ЭДС самоиндукции будет иметь вид:

(3.34)

Из (3.34) вытекает: если , то . И наоборот, если , то . Т.е. ЭДС самоиндукции тормозит изменение тока, вызванного внешними причинами, т.е. сторонними силами, в том числе и сопротивлением контура.

Таким образом, наличие индуктивности приводит к тому, что контур приобретает своего рода электромагнитную инертность, которая выражается в том, что любое изменение тока тормозится тем быстрее, чем больше индуктивность контура.

При постоянном токе индуктивность не проявляется.

Рассмотрим теперь математически высказанные замечания.

Пусть имеется контур с индуктивностью , как показано на рис. 3.31.

Если ключ перевести в верхнее положение, то ток в цепи будет нарастать, следовательно, появится ЭДС самоиндукции. При достижении током своего номинального значения, он перестанет изменяться и ЭДС самоиндукции станет равной нулю , а ток . Если теперь ключ перевести в нижнее положение (тем самым мы исключаем ), то ток в цепи будет уменьшаться. Но появится ЭДС самоиндукции, препятствующая уменьшению тока. На основании второго правила Кирхгофа можно записать:

Подставляя сюда выражение для ЭДС самоиндукции (3.34), получим:

Преобразуем полученное выражение:

Интеграл этого дифференциального уравнения имеет вид:

Значение константы найдется из начального условия: в момент времени , ток был . Отсюда получаем ‑ , и соответственно окончательное выражение зависимости силы тока от времени:

Отношение должно иметь размерность времени. Действительно, размерность индуктивности ‑ генри . Размерность сопротивления ‑ Ом, . Следовательно, . Но размерность вольта . Поэтому для искомой размерности получаем: , или . Исходя из этого, обозначим отношение через ‑ . В этом случае, закон убывания тока в цепи, будет иметь следующий вид:

(3.35)

Отсюда вытекает физический смысл ‑ время релаксации, время, в течение которого сила тока в цепи уменьшится в раз (по аналогии с затухающими колебаниями).

Таким образом, зная параметры контура, можно сразу рассчитать время релаксации.

Рассмотрим теперь случай нарастания тока, т.е. случай, когда ключ находится в верхнем положении (см. рис. 3.31). С учетом второго правила Кирхгофа, запишем:

Преобразуя это уравнение с учетом (3.34) получим:

Частное решение этого уравнения возьмем в виде ‑ . Общее решение соответствующего однородного уравнения мы уже получили ‑ . Поэтому общее решение дифференциального уравнения нарастания тока в цепи будет иметь вид:

Константу интегрирования найдем из начальных условий: в начальный момент времени сила тока равнялась нулю . Из этого условия получим, что . И уравнение нарастания тока в цепи будет иметь следующий вид:

(3.36)

При рассмотрении возрастания и убывания тока, мы считали цепь замкнутой. Если просто разорвать цепь, то величина возникшей ЭДС самоиндукции может быть очень велика, так что между контактами выключателя возникает электрический разряд. При этом развиваются значительные токи. Это явление получило название экстратоки размыкания.

Дата добавления: 2014-01-04