Многоэлектронные атомы

Лазеры

(Спонтанное и вынужденное излучения. Оптические квантовые генераторы – лазеры.)

Спонтанные и вынужденные переходы, их вероятность

Кроме самопроизвольных, спонтанных переходов с одного энергетического уровня на другой, наблюдаются также вынужденные (или индуцированные) переходы, обусловленные действием на атом падающего излучения.

Самопроизвольные переходы могут совершаться только в одном направлении ‑ с более высокого энергетического уровня на более низкий.

Вынужденные переходы с равной вероятностью могут происходить как в одном, так и в другом направлениях. В случае перехода но более высокий энергетический уровень атом поглощает падающее на него излучение. При вынужденном переходе с одного из возбужденных уровней на более низкий энергетический уровень, происходит излучение атомом дополнительного (к первому, падающему) фотона.

Это излучение называется вынужденным или индуцированным излучением.

Направление вынужденного излучения в точности совпадает с направлением внешнего излучения, вызвавшего индуцированный переход.

Частота вынужденного излучения совпадает с частотой падающего излучения.

Фаза вынужденного излучения совпадает с фазой падающего излучения.

Поляризация вынужденного излучения совпадает с поляризацией падающего излучения.

Вынужденное и внешнее излучения оказываются когерентными.

Эта особенность вынужденного излучения лежит в основе действия усилителей и генераторов света ‑ лазеров. Слово лазер ‑ это аббревиатура английского названия ‑ Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. В русскоязычной литературе вместо аббревиатуры лазер, используется отечественная аббревиатура ‑ ОКГ (оптический квантовый генератор).

Впервые принцип усиления света за счет вынужденного излучения был предложен советским физиком В.А.Фабрикантом в 1940 г.

Использование вынужденного излучения для усиления электромагнитных волн в микроволновом диапазоне ‑ мазеры ‑ было независимо предложено советскими учеными Басовым и Прохоровым и американским ученым Таунсом в 1953 г. (Нобелевская премия была присуждена в 1964 г).

В 1960 г. Мейман создал аналогичный прибор, работающий в оптическом диапазоне ‑ лазер (ОКГ).

Рассмотрим кратко принцип действия квантовых генераторов.

Итак, падающий на вещество свет частоты , совпадающей с одной из частот атомов вещества () будет вызывать два процесса.

1. Переход атомов из состояния в состояние с поглощением фотона (см. рис. 3.13).

2. Вынужденный переход атомов из состояния в состояние с излучением вторичного фотона (см. рис. 3.14).

Первый процесс приводит к поглощению света веществом и ослаблению интенсивности светового пучка.

Второй процесс приводит к увеличению интенсивности падающего света.

Результирующее изменение интенсивности света будет определяться тем, какой из двух процессов преобладает.

Для этого нужно знать число атомов, находящихся в различных энергетических состояниях. Это число атомов дается уже знакомой формулой Больцмана (см. I.2.46):

Здесь ‑ константа, которая находится из условия нормировки, ‑ число атомов, обладающих энергией при температуре . График этой зависимости приведен на рис. 3.15.

Из этой формулы следует, что с увеличением энергии уровня, его населенность, т.е. число атомов в данном состоянии, уменьшается.

Таким образом, при термодинамическом равновесии системы поглощение света будет преобладать над вынужденным излучением, т.к. возбужденных атомов, обладающих энергией и испускающих вынужденное излучение меньше невозбужденных, обладающих энергией и поглощающих свет ( и ).

Т.е. падающая волна при прохождении через вещество ослабляется.

Инверсная населенность уровней

Для того, чтобы поучить усиление падающего света, необходимо каким-либо образом обратить населенность уровней. Т.е. сделать так, чтобы большему значению энергии соответствовало и большее число атомов . При этом говорят, что совокупность атомов имеет инверсную (обратную) населенность уровней.

Отношение числа атомов на уровнях и равно:

В случае инверсной населенности . Отсюда следует, что показатель экспоненты должен быть больше нуля ‑ . Но . Следовательно, чтобы показатель экспоненты был больше нуля, необходимо чтобы температура была отрицательной ‑ .

Поэтому состояние с инверсной населенностью уровней называют иногда состоянием с отрицательной температурой. Но это выражение носит условный характер, потому что само понятие температуры применимо к равновесным состояниям, а состояние с инверсной населенностью является неравновесным состоянием.

Далее закон ослабления света при прохождении через обычное вещество определяется законом Бугера (1.27):

В случае инверсной населенности, свет, проходя через вещество, будет усиливаться. Формально это соответствует тому, что в законе Бугера коэффициент поглощения будет отрицательным. Т.е. совокупность атомов с инверсной населенностью уровней можно рассматривать как среду, с отрицательным коэффициентом поглощения.

Итак, для усиления света веществом нам необходимо создать инверсную населенность уровней этого вещества. Посмотрим, как это делается на примере рубинового лазера.

Рубин представляет собой окись алюминия , в которой некоторые атомы алюминия заменены атомами хрома . Этот рубин облучают широким спектром частот электромагнитных волн. При этом ионы хрома переходят в возбужденное состояние (см. рис. 3.16). Ионы алюминия в этом деле заметной роли не играют.

Состояние с энергией представляет собой целую полосу, вследствие взаимодействия ионов с кристаллической решеткой. С уровня для ионов хрома возможны два пути.

1. Возвращение в исходное состояние с энергией с испусканием фотона.

2. Переход в метастабильное состояние с энергией путем теплового взаимодействия с ионами кристаллической решетки алюминия.

Время жизни на уровне как и обычно, равно времени жизни в возбужденном состоянии ‑ . Спонтанный переход на уровень обозначен стрелкой , а переход на метастабильный уровень обозначен стрелкой .

Расчеты и эксперимент показывают, что вероятность перехода много больше вероятности перехода . Кроме того, переход из метастабильного состояния с энергией в основное состояние запрещен правилами отбора (правила отбора не абсолютно строги, они указывают лишь большую или меньшую вероятность перехода).

Поэтому время жизни на метастабильном уровне составляет , что в сто тысяч раз превышает время жизни на уровне .

Таким образом, при достаточно большом числе атомов хрома может возникнуть инверсная населенность уровня ‑ число атомов на уровне превысит число атомов на уровне , т.е. может получиться то, что мы желаем.

Спонтанный переход с уровня на основной уровень обозначен стрелкой , Возникающий при этом переходе фотон может вызвать вынужденное излучение следующего фотона, который обозначен стрелкой . Этот еще одного и т.д. Т.е. образуется каскад фотонов.

Рассмотрим теперь техническое устройство рубинового лазера.

Он представляет собой стержень, диаметром порядка и длиной . Торцы стержня строго параллельны друг другу и тщательно отшлифованы. Один торец представляет собой идеальное зеркало, второй ‑ полупрозрачное зеркало, пропускающее около падающей энергии.

Вокруг рубинового стержня устанавливают несколько витков лампы накачки ‑ ксеноновой лампы, работающей в импульсном режиме.

Итак, в теле стержня образовались вынужденные фотоны. Те фотоны, направление распространения которых составляет малые углы с осью стержня, будут многократно проходить стержень и вызывать вынужденное излучение метастабильных атомов хрома. Вторичные фотоны будут иметь то же направление, что и первичные, т.е. вдоль оси стержня. Фотоны другого направления не разовьют значительный каскад и выйдут из игры. При достаточной интенсивности пучка часть его выходит наружу.

Рубиновые лазеры работают в импульсном режиме с частотой повторения несколько импульсов в минуту. Кроме того, внутри них происходит выделение большого количества тепла, поэтому их приходится интенсивно охлаждать.

Рассмотрим теперь работу газового лазера, в частности гелий-неонового.

Он состоит из кварцевой трубки, внутри которой находится смесь газов гелия и неона. Гелий находится под давлением , а неон под давлением , при этом атомов гелия приблизительно в 10 раз больше, чем атомов неона. Основными излучающими атомами здесь являются атомы неона, а атомы гелия играют вспомогательную роль для создания инверсной населенности атомов неона.

Подкачка энергии в этом лазере осуществляется за счет энергии тлеющего разряда. При этом атомы гелия возбуждаются и переходят в возбужденное состояние ( см. рис. 3.17). Это состояние для атомов гелия является метастабильным, т.е. обратный оптический переход запрещен правилами отбора. Поэтому атомы гелия могут перейти в невозбужденное состояние, передавая энергию атомам неона при столкновениях. Вследствие этого атомы неона приходят в возбужденное состояние , которое близко состоянию для гелия. Атомы неона возбуждаются как за сет энергии тлеющего разряда, так и за счет столкновений с атомами гелия.

Кроме того разгружают уровень , подбирая такие размеры трубки, чтобы атомы неона, находясь на уровне , при соударениях со стенками передавали бы им энергию, переходя на основной уровень.

Вследствие этих процессов происходит инверсная населенность уровня для неона. С уровня возможен переход на уровень .

Основным конструктивным элементом этого лазера является кварцевая газоразрядная трубка, диаметром около . В ней расположены электроды для создания электрического разряда. По торцам трубки расположены плоско-параллельные зеркала, одно из которых, переднее, полупрозрачное. Условия для усиления возникают только у тех фотонов, которые вылетают параллельно оси лазера.

Рабочей частотой лазера является переход . Правилами отбора разрешено около тридцати переходов. Для выделения одной частоты зеркала делают многослойными, настроенными на отражение только одной определенной волны. Широко распространены лазеры, излучающие волны с длиной . Но наиболее интенсивным является переход с длиной волны , т.е. в инфракрасной области спектра.

Газовые лазеры работают в непрерывном режиме и не нуждаются в интенсивном охлаждении.

Отличительными особенностями лазерного излучения являются.

1. Временная и пространственная когерентность.

2. Строгая монохроматичность .

3. Большая мощность

4. Узость лазерного пучка.

Корпускулярно-волновой дуализм.

(Гипотеза Луи де Бройля. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей. Уравнение Шредингера. Волновая функция и ее свойства. Квантование. Интерпретация волновой функции.)

Гипотеза Луи-де-Бройля

Ранее мы получили связь между импульсом фотона и длиной его волны (2.12)

Эта формула устанавливает связь между волновыми свойствами фотона (длина волны ) и его корпускулярными свойствами ‑ импульсом. Эта формула указывает, как мы отмечали, на корпускулярно-волновой дуализм фотона. И мы показывали, как этот дуализм фотона раскрывается.

Но, кроме того, имелись еще противоречия между классическими представлениями и устойчивостью атома. Ведь теория Бора не устранила это противоречие, а только постулировала устойчивость атома, не объясняя ее.

Для разрешения этих противоречий в 1924 г. Луи-де-Бройль выдвинул гипотезу о том, что всем частицам, а не только фотону, присущ корпускулярно-волновой дуализм. И в частности электрону. И что связь между корпускулярными и волновыми свойствами частиц определяется точно так же, как и для фотона:

(3.10)

Корпускулярно-волновые свойства частиц

Если электрон движется со скоростью , то его импульс равен . Следовательно, движущемуся электрону соответствует длина волны , равная:

При прохождении электроном разности потенциалов электрон приобретает скорость , равную:

В этом случае, длина волны, соответствующая электрону, будет равна:

(3.11)

Подставляя численные значения констант, получим:

Напряжении в электронно-лучевой трубке меняется в пределах от до . Следовательно, длина волны электрона лежит в пределах от до , т.е. в диапазоне рентгеновского излучения. Следовательно, появляется реальная возможность проверки гипотезы Луи-де-Бройля, проверив, дифрагируют ли электронные пучки на кристаллах.

В 1927 г. Девисон и Джермер исследовали явление рассеяния электронов на кристалле никеля. Никель был ранее изучен с помощью рентгеновских лучей, и поэтому постоянная его решетки была хорошо известна.

Если электрон обладает волновыми свойствами, то при рассеянии на кристалле должны быть направления максимумов и направления минимумов. И это действительно подтвердилось в эксперименте. Причем экспериментально измеренная длина волны электрона в точности соответствовала теоретической.

Советский ученый Тартаковский исследовал явление прохождения электронного пучка через тонкие металлические фольги. При этом получалась дифракционная картина в точности такая же, как и при прохождении рентгеновских лучей.

Этими, и подобными им экспериментами было доказано, что электрон действительно обладает волновыми свойствами.

Причем было показано, что волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не большой совокупности электронов в целом.

Таким образом, накапливались данные о корпускулярно-волновом дуализме электрона.

Эксперименты, указывающие на волновую природу электрона.

1. Дифракция электронов, следовательно ‑ электрон не шарик, а сложное образование, структура, обладающая волновыми свойствами.

2. В зависимости от внешних условий структура электрона меняется, т.е. структура электрона зависит от его взаимодействия с окружающей средой.

3. Область локализации электрона в атоме ‑ электронная оболочка. В то же время при прохождении через кристалл, электрон взаимодействует одновременно со множеством атомов, о чем свидетельствует острота дифракционных максимумов. Т.е. здесь область локализации электрона совершенно другая.

Корпускулярная природа электрона.

Электрон действует всегда как единое целое, не дробясь на части. Однако его неделимость не обусловлена его точечностью, а имеет гораздо более сложную природу, разгадка которой дело будущего.

Волновые свойства электронов позволяют их использовать в так называемом электронно-структурном анализе, который дает лучшие результаты, в отличие от рентгеноструктурного анализа.

Это происходит потому, что рентгеновские фотоны взаимодействуют только с электронной оболочкой атома, а электроны взаимодействуют в основном с ядром атома.

Как видно из формулы (3.11), длина волны частицы, при прочих равных условиях, обратно пропорциональна корню квадратному из массы частицы.

Таким образом, если для электрона энергии длина волны получается равной , то для протона, той же энергии, длина волны будет равна:

Отсюда получаем, что длина волны протона энергией равна

А для молекулы кислорода ‑ .

Причем здесь мы предположили, что гипотеза Луи-де-Бройля распространяется и на сложные, составные частицы. Это предположение было подтверждено экспериментально, путем получения дифракционной картины от атомов гелия.

Если мы возьмем пылинку, массой , движущейся со скоростью , то для де-Бройлевской длины волны получим значение:

Т.е. ничтожно малая длина волны.

Соотношение неопределенностей

Проанализируем теперь вопрос о точности определения координат и импульса различных тел.

Согласно гипотезе Луи-де-Бройля, все тела обладают волновыми свойствами, т.е. характеризуются волной, или, как принято говорить, описываются волновой функцией.

В общем случае волновая функция зависит от всех трех пространственных координат и времени . Волновую функцию обозначают символом . Итак

Рассмотрим простейший случай волновой функции, зависящей только от одной пространственной координаты ‑ и простейший вид волновой функции ‑ плоскую, монохроматическую волну:

Окончательно волновую функцию запишем в виде:

(3.12)

где ‑ длина волны, ‑ скорость ее распространения. Согласно гипотезе де-Бройля, .

Поскольку волна монохроматическая, то , отсюда и импульс постоянен . Т.е. импульс имеет строго определенное значение. Следовательно, изменение импульса ‑ интервал его возможных значений ‑ равен нулю. Значение импульса одно единственное и четко определено ‑ .

В то же время, рассматриваемая монохроматическая волна бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца и заполняет все пространство . Следовательно, значение неопределенно и интервал возможных значений равен бесконечности. Итак

Т.е. такой объект как плоская монохроматическая волна имеет совершенно определенный импульс и совершенно неопределенную область локализации.

Рассмотрим теперь другой объект ‑ волновой пакет (см. рис. 3.18). Т.е. такую волну, которая отлична от нуля лишь в некотором интервале , а во всех остальных точках пространства равна нулю.

Такой волновой пакет можно получить, складывая монохроматические волны разных частот, т.е. разных длин волн, в некотором интервале от до . Следовательно, область локализации такого объекта уменьшилась и стала .

Посмотрим теперь, что стало с импульсом. А импульс стал неопределенен. Ведь импульс определяется через длину волны , а волновой пакет состоит из целой серии волн, разной длины. Поэтому импульс потерял свое определенное значение. Интервал возможных значений импульса заключен в пределах:

Чем более узкая область локализации пакета ‑ , тем более широкий диапазон длин волн должен быть для его реализации. В пределе, очевидно, получим:

Соотношение между и (аналогично и для других координат) впервые проанализировал Гейзенберг. Он исходил из следующего.

Чтобы определить положение и импульс электрона, его нужно осветить, т.е. получить от него хотя бы один рассеянный фотон. При этом, вследствие дифракции, точность в определении положения электрона не может быть больше длины волны фотона: . Чем точнее нужно измерить положение электрона, тем короче должна быть длина волны .

Но при рассеянии фотона электрон получает отдачу и его импульс меняется на величину порядка импульса фотона , что и составит погрешность в определении импульса электрона . Следовательно, получим:

Это соотношение и носит название соотношение неопределенностей. Аналогичные соотношения имеют место и для других координат.

(3.13)

Таким образом, полученные соотношения связывают область локализации волнового пакета и область длин волн, для его реализации.

Электрон в электронно-лучевой трубке и в атоме

Итак, соотношение неопределенностей отражает корпускулярно-волновой дуализм материальных тел. С помощью этих соотношений, можно определить в каком случае, какими представлениями необходимо пользоваться.

Например, движение электрона в электронно-лучевой трубке.

Пусть неопределенность в определении импульса составляет , т.е.

Тогда неопределенность в определении его координаты будет равна

При скорости электрона

В этом случае неопределенность локализации будет равна:

Т.е область локализации электрона ‑ ‑ гораздо меньше размеров электронно-лучевой трубки и здесь можно смело использовать корпускулярные представления об электроне.

В то же самое время для атома использование корпускулярных представлений бессмысленно.

Длина волны де-Бройля покоящихся тел

Теперь можно рассмотреть вопрос об определении длины волны покоящегося тела, например электрона.

Формально мы получим:

Но согласно соотношению неопределенности

Подставив неопределенность импульса в определение длины волны, получим:

Таким образом, длину волны покоящейся частицы мо сможем определить с точностью до области локализации.

Для малых скоростей длина волны де-Бройля соответствует области локализации, а при больших скоростях она меньше области локализации.

Для макроскопических тел при малых скоростях:

Следовательно, нельзя говорить, что скорость тела равна нулю. Нужно говорить, что тело обладает минимальной скоростью:

где ‑ точность определения координаты тела. Таким образом, длина волны де-Бройля макроскопических тел

равна точности определения координаты тела.

Физический смысл волновой функции

Мы уже отмечали, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновой функции . К истолкованию физического смысла функции можно подойти, сравнивая ее с толкованием электромагнитной волны в вопросе дуализма фотона. В частности плотность энергии электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуд напряженности электрического и магнитного полей.

Аналогично этому, произведение квадрата модуля волновой функции на элемент объема

(3.14)

физически толкуется как вероятность того, что действие частицы будет обнаружено в объеме . Т.е. толкуется как плотность вероятности обнаружения частицы.

Функция очевидно должна удовлетворять условию нормировки

Т.е. вероятность обнаружения частицы где-нибудь в пространстве равна единице ‑ частица существует.

Следует иметь ввиду, что область действия (или что то же самое область обнаружения) не совпадает с областью локализации. Например, область действия ‑ захват электрона ионом, ограничена размерами иона. А область локализации электрона гораздо больше.

Волновая функция заряженной частицы

Поскольку функция характеризует вероятность, то математический аппарат квантовой механики резко отличается от математического аппарата классической физики.

Предположим, что нам известна -функция какой либо частицы. Как теперь найти параметры этой частицы? Координаты . Импульс .

Эта задача в квантовой механике решается своеобразным приемом. Каждой величине ставится в соответствие свой оператор. Подействовав этим оператором на -функцию находят искомый параметр.

Например.

Пусть частица двигается вдоль оси и пусть ее импульс определен точно. В этом случае, как мы уже видели, частице сопоставляется монохроматическая, плоская волна. Фаза этой монохроматической волны имеет вид:

Используя соотношения и , выражение для фазы волны перепишем в виде:

Волновая функция незаряженной частицы есть гармоническая функция sin или cos от . Если частица заряжена, то волновая функция комплексна:

(3.15)

Операторы импульса и энергии

Продифференцируем -функцию по :

Или

Таким образом, значение импульса мы получим как множитель перед -функцией, если применить к ней операцию ‑ . Эту операцию будем называть оператором импульса ‑ . Таким образом

Аналогично можно получить и для других координат:

Найдем теперь выражение для оператора энергии из условия, что должно выполняться равенство . Для этого продифференцируем -функцию по времени:

Отсюда

Т.е. оператор энергии имеет вид:

Уравнение Шредингера

С другой стороны, энергия частицы имеет вид: , где ‑ кинетическая энергия, ‑ потенциальная энергия. Т.е.

Квадрат импульса равен сумме квадратов проекций импульса, т.е.

Представим теперь проекции импульсов в виде операторов:

Т.е.

Аналогично и по другим координатам:

Следовательно, оператор кинетической энергии будет иметь вид:

где ‑ оператор Лапласа ‑ .

Таким образом, оператор кинетической энергии будет иметь вид:

Потенциальная энергия содержит только координаты. Поэтому оператор есть просто умножение на функцию .

Таким образом, оператор полной энергии, называемый оператором Гамильтона , будет иметь вид:

Таким образом, используя предыдущее выражение для оператора полной энергии, мы получим следующее уравнение:

(3.16)

Это уравнение называется уравнением Шредингера. В раскрытом виде уравнение Шредингера имеет вид:

(3.17)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

(3.18)

Специальными исследованиями было показано, что это уравнение при больших массах переходит в уравнение классической физики.

Пример

Рассмотрим заряженную частицу в бесконечно глубокой, одномерной потенциальной яме (см. рис. 3.19).

Поскольку случай одномерный и стационарный, то уравнение Шредингера будет иметь вид:

Вне потенциальной ямы -функция будет равна нулю.

Внутри потенциальной ямы , и поэтому для этой области пространства уравнение Шредингера будет иметь вид:

Граничные условия для функции записываются как:

Преобразуем уравнение для :

Введем обозначение:

Окончательное дифференциальное уравнение для нахождения -функции будет иметь вид:

Как видим, получили дифференциальное уравнение незатухающих колебаний (I.2.4), только не во времени, а в пространстве. Решение этого уравнения имеет вид (I.2.6):

Константы интегрирования и находятся из граничных условий.

1. Удовлетворим граничному условию в нуле ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что константа интегрирования . Таким образом, -функция будет иметь вид ‑ .

2. Удовлетворим теперь второму граничному условию ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что должно выполняться условие ‑ , где Таким образом, для циклической частоты колебаний в пространстве получаем следующее выражение:

Следовательно, -функции будет иметь вид:

Выражение для амплитуды -функции найдем из условия нормировки ‑ . Для нашей задачи условие нормировки будет иметь вид:

Возьмем интеграл этого уравнения:

Следовательно, условие нормировки примет вид:

Окончательно -функцию представим в виде:

Графики самой -функции и ‑ характеризующий вероятность нахождения частицы в том или ином месте потенциальной ямы, представлены на рис. 3.20.

Получим теперь выражение для энергии частицы в потенциальной яме.

Из выражения для квадрата частоты следует, что . Из граничных условий вытекает, что . Объединяя эти два условия, получим:

Мы видим, что энергия частицы квантуется, принимает дискретный ряд значений.

Уравнение Шредингера.

(Решение уравнения Шредингера для простейших одномерных задач. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Гармонический осциллятор. Туннельный эффект.)

Рассмотрим заряженную частицу в бесконечно глубокой, одномерной потенциальной яме (см. рис. 3.19).

Поскольку случай одномерный и стационарный, то уравнение Шредингера будет иметь вид:

Вне потенциальной ямы -функция будет равна нулю.

Внутри потенциальной ямы , и поэтому для этой области пространства уравнение Шредингера будет иметь вид:

Граничные условия для функции записываются как:

Преобразуем уравнение для :

Введем обозначение:

Окончательное дифференциальное уравнение для нахождения -функции будет иметь вид:

Как видим, получили дифференциальное уравнение незатухающих колебаний (I.2.4), только не во времени, а в пространстве. Решение этого уравнения имеет вид (I.2.6):

Константы интегрирования и находятся из граничных условий.

1. Удовлетворим граничному условию в нуле ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что константа интегрирования . Таким образом, -функция будет иметь вид ‑ .

2. Удовлетворим теперь второму граничному условию ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что должно выполняться условие ‑ , где Таким образом, для циклической частоты колебаний в пространстве получаем следующее выражение:

Следовательно, -функции будет иметь вид:

Выражение для амплитуды -функции найдем из условия нормировки ‑ . Для нашей задачи условие нормировки будет иметь вид:

Возьмем интеграл этого уравнения:

Следовательно, условие нормировки примет вид:

Окончательно -функцию представим в виде:

Графики самой -функции и ‑ характеризующий вероятность нахождения частицы в том или ином месте потенциальной ямы, представлены на рис. 3.20.

Получим теперь выражение для энергии частицы в потенциальной яме.

Из выражения для квадрата частоты следует, что .

(Спектры щелочных металлов. Нормальный эффект Зеемана. Мультиплетность спектров и спин электрона. Момент импульса в квантовой механике. Результирующий момент многоэлектрон­ного атома. Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням. Периодическая система элемент Менделеева. Ширина спектральных линий. Молекулярные спектры.)

Достоинства и недостатки теории Бора.

Поправки Зоммерфельда

Совпадение выводов теории Бора с опытными фактами для водорода не оставляло желать лучшего. Это был крупный шаг в теории атома. Он показал, что к атомам нельзя применять законы классической физики, что атом живет по законам микрочастиц.

Однако, после первых успехов теории Бора пошли сплошные неудачи. Теория Бора не смогла объяснить характер спектров следующего за водородом атома ‑ гелия. Хотя он является самым простым после водорода атомом.

Поэтому пришлось вводить новые постулаты для объяснения наблюдаемых спектров атомов. В частности, такие поправки сделал Зоммерфельд.

Как известно, материальное тело обладает тремя степенями свободы (если рассматривать его как материальную точку). Поэтому и для характеристики состояния электрона в атоме нужно не одно какое-то квантовое число, а по меньшей мере три числа. Такие числа были введены и они соответствуют следующим представлениям.

‑ главное квантовое число, характеризует радиус орбиты электрона

в атоме.

‑ побочное, или азимутальное квантовое число, характеризует

эллиптичность орбиты, степень ее вытянутости.

‑ магнитное квантовое число, характеризует ориентацию плоскости

орбиты электрона в пространстве.

Таким образом, для данного главного квантового числа и полной энергии , существует целая группа орбит, отвечающих разным значениям квантовых чисел и .

Эти квантовые числа определенным образом связаны между собой. В частности, побочное квантовое число может принимать значения от нуля до :

Квантовое число может принимать значения от до :

Следовательно, квантовое число имеет всего различных значений, а имеет всего значений.

Будем символом обозначать состояние орбиты, соответствующей квантовым числам , т.е. ‑ , а символом как обычно энергию электрона в атоме.

Таким образом, мы видим, что возможные орбиты электрона в атоме значительно усложняются.

Состояния с одинаковым значением энергии, т.е. с одним и тем же значением главного квантового числа называются вырожденными. А число таких состояний называется кратностью вырождения.

Подсчитаем, чему равна кратность вырождения уровней водорода. При данном квантовом числе , возможны состояний, отличающихся различными значениями квантового числа . Таким образом, для определения кратности вырождения, необходимо произвести суммирование по всем возможным значениям квантового числа . Т.е кратность вырожденности будет равна . Суммирования ведется в пределах от до потому, потому что именно в таких пределах меняется квантовое число . Легко показать (даже путем непосредственной подстановки числовых значений), что эта сумма равна:

Таблица 1
En	Ψn l m	n	l	m
E1	Ψ1 0 0
E2	Ψ2 0 0
Ψ2 1 -1			-1
Ψ2 1 0
Ψ2 1 1
E3	Ψ3 0 1
Ψ3 1 -1			-1
Ψ3 1 0
Ψ3 1 1
Ψ3 2 -2			-2
Ψ3 2 -1			-1
Ψ3 2 0
Ψ3 2 1
Ψ3 2 2

Таким образом, таблица 1 со значениями квантовых чисел будет иметь вид.

В квантовой механике показывается, что квантовое число определяет величину момента импульса электрона в атоме, а квантовое число ‑ проекцию этого импульса на какое-то направление (например, направление вектора электрического или магнитного поля).

‑ момент импульса ‑

‑ проекция импульса ‑

, поэтому .

Кроме цифровых значений, для часто применяют буквенные обозначения. При этом установлено следующее соответствие:

При этом, так как , возможна следующая таблица состояний:

Следовательно, с поправками Зоммерфельда теория атома Бора становится гораздо сложнее.

Спин электрона и спиновое квантовое число

При изучении спектров щелочных металлов приборами большой разрешающей способности выявлено, что линии в спектре являются дублетами, т.е. двойными. Т.е. уровни энергии расщеплены на два подуровня.

Но если это так, то мы должны считать, что каждой линии соответствует своя энергия.

Для объяснения этого эффекта пришлось предположить, что электрон имеет собственный механический момент движения, не связанный с его орбитальным движением. Этот механический момент движения, момент импульса, называется спином, от английского слова ‑ веретено. Т.е. электрон стали употреблять волчку.

Тем самым было показано, что элементарную частицу электрон нельзя считать материальной точкой. Его следует рассматривать как частицу, имеющую размеры, т.к. она обладает вращательной степенью свободы.

Однако от представлений об электроне виде вращающегося шарика вскоре пришлось отказаться. Дело в том, что вращающийся заряженный шарик должен обладать и магнитным моментом. Магнитный момент электрона вскоре был действительно обнаружен. Но отношение магнитного момента электрона к его механическому моменту не соответствовало теоретическому. Поэтому принято считать, что спин электрона ‑ это его свойство, подобно тому, как масса, заряд.

Собственный механический момент электрона (момент импульса) равен:

где ‑ спиновое квантовое число. Из экспериментальных наблюдений было определено, что . Отсюда . Проекция на выбранное направление будет равна: , где .

Таким образом, общее число различных состояний, т.е. кратность вырожденности, будет равна ‑ .

Периодическая система элементов Менделеева

Итак, четыре квантовых числа полностью характеризуют состояние одного электрона в поле атомного ядра.

В многоэлектронных атомах нужно учитывать еще и взаимодействие электронов между собой, что чрезвычайно усложняет задачу.

Здесь мы рассмотрим многоэлектронный атом лишь с качественной стороны. При

Дата добавления: 2014-01-04