Частица в двумерной потенциальной яме. Вырождение состояний

Пусть частица движется в двумерной потенциальной яме, ограниченной в пространстве прямоугольником со сторонами и . Внутри ямы потенциальная энергия частицы равна нулю. На границах она возрастает до беск большой величины. Движение квантовой частицы в такой яме можно разложить на два независимых движения- по xи по-y. Волновая функция вследствие этого: . Решение уравнения Шрёдингера для такой ямы представляет собой двумерную стоячую волну. По краям ямы волновая функция обращается в ноль. Внутри имеются max и min.

Уравнение Шредингера: . Получаем: . Разделим на : . Можно записать 2 уравнения: и , . Каждое из них – это уравнение Шредингера для одномерной задачи. Следовательно, и . ; . Преобразуем решение в вид: . и - это условия 2-х стоячих волн (вдоль х и вдоль у).

Появляется 2 взаимно независимых квантовых числа. Эти значения определяют вид . ; . Отсюда получаем выражение для полной энергии частицы в двумерной яме: . Полная энергия оказывается квантована, как и раньше. Значениям , соответствует низшее состояние частицы в квантовой яме.

. На рисунке – функция в яме.

Дата добавления: 2014-01-04