Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида , где - многочлен степени , - многоч

Рациональной дробью называется дробь вида , где - многочлен степени , - многочлен степени . Рациональные дроби бывают неправильные, если и правильные, если . Например, дроби - неправильные дроби, а дроби

- правильные.

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы ее целой части и некоторой правильной дроби. Например, первую из приведенных выше неправильных дробей по правилам деления многочленов можно представить в виде , а третью в виде

Таким образом, если надо проинтегрировать неправильную дробь на целую часть и правильную дробь и после интегрирования целой части как многочлена, что не вызывает затруднений, решение сведется интегрированию правильной дроби. Поэтому дальше ограничимся интегрированием лишь правильных дробей вида , где .

Будем предполагать, что коэффициенты многочленов и - действительные числа и что дробь несократимая, то есть не имеет общих корней.

В алгебре доказывается, что многочлен степени имеет корней действительных и комплексных вида , где - действительные числа, - мнимая единица и, что его можно разложить на множители , где квадратные трехчлены имеют сопряженные комплексные корни и на действительные множители не раскладываются, а степени - целые положительные, указывающие кратность действительных и комплексных корней. Среди действительны корней a,b … могут быть и нулевые, среди комплексных – чисто мнимые вида bi.

Для простоты дальнейшего изложения примем вариант, когда знаменатель правильной дроби раскладывается на действительные множители и один квадратный трехчлен

В алгебре доказывается, что в этом случае рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей вида

(7.6)

Коэффициенты А_1, А_2,…В_1, В₂, … M, N можно определить из следующих соображений. Равенство (7.6) является тождеством, то есть справедливо при всех допустимых значениях букв, входящих в это равенство. Поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях слева и справа. Но два многочлена тождественны, если их коэффициент при одинаковых степенях x равны между собой. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях, получим систему из стольких уравнений, сколько неопределенных коэффициентов. Решая эту систему, а она всегда совместна, найдем коэффициенты А_1,… N.

Как видно из тождества (7.6) интегрирование рациональной дроби

сводится к алгебраической сумме интегралов от простейших дробей четырех типов: , , , . Покажем, чему они равны.

1. =, см. формулу (7.3)

2. =см. формулу (7.3)

3. , что приводит к табличному интегралу (12). Здесь , поскольку квадратный трехчлен неприводимый и его дискриминант .

4.

Здесь в первом интеграле искусственно создан числитель дроби, равный дифференциалу знаменателя, потому интеграл дроби равен натуральному логарифму знаменателя (см. правило в § 7. 4. 2). Второй интеграл – это интеграл типа 3, рассмотренный только что.

Пример 7.9. Найти .

Решение. Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

.

Должны быть равны числители

или .

Приравнивая коэффициенты этих тождественных многочленов при одинаковых степенях , получим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

подставим второе и третье

уравнения

получим складываем почленно,

найдем или

Подставляем значения коэффициентов в простейшие дроби и почленно их интегрируем, вынося постоянные множители за знак интеграла,

Пример 7.10. ; разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

или

.

Нами изложены важнейшие методы интегрирования и классы интегралов. Интегрирование некоторых новых классов интегралов, например, от тригонометрических, иррациональных и других функций можно рассмотреть на практических занятиях. Теоретическое основание для этого уже имеется.

Дата добавления: 2014-01-04