Свойства определенного интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции

Лекция 8. Определенный интеграл

Определенный интеграл связан с непосредственным приложением интегрального исчисления к решению прикладных задач. Введем понятие определенного интеграла и познакомимся с его свойствами и методами вычисления.

Пусть дана функция , непрерывная на отрезке и неотрицательная на этом отрезке. Фигура называется криволинейной трапецией. Разобьем отрезок на произвольных частей точками x₀, x₁, x₂, x₃…x_n. Частичные отрезки обозначим как приращение аргумента, , Внутри каждого частичного отрезка выберем точкуи вычислим значение функции в точках , то есть . Каждое произведение есть площадь прямоугольника, имеющая основание и высоту . Суммируя все , получим интегральную сумму:

. (8.1)

Предел интегральной суммы (8.1) при всегда существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки при указанном выше условии, ни от выбора точек . Этот предел называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается так

(8.2)

где пределы (границы) интегрирования. Названия остальных элементов обозначения такие же, как в неопределенном интеграле.

Определенный интеграл (8.2) численно равен площади криволинейной трапеции .

Аналогично составляются интегральные суммы и при решении других прикладных задач, о чем мы скажем ниже.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, то есть .

2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный, то есть.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть где

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определенный интеграл по всему отрезку равен сумме определенных интегралов по его частям, например, если a<c<b, то .

6. Если на отрезке интегрирования , где a< b функция и обе эти функции непрерывны, то .

7. Если т – наименьшее, то М - наибольшее значения непрерывной на отрезке функции, то .

8. Теорема о среднем. Определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой внутренней точке с этого отрезка, то есть

Отсюда получаем интегральную среднюю как среднее значение функции на отрезке:

(8.3)

9. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Он зависит от подынтегральной функции и границ интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-04