Вычисление площадей

Если функция на отрезке, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми равна

(8.7)

если функция на , то площадь вычисляется по формуле (8.7) от абсолютной величины подынтегральной функции.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций. Получим

Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

Пример 8.10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой и осью .

Решение. Так как функция четная, то кривая (парабола) симметрична относительно оси и ветви ее направлены вниз.

Парабола и ось , уравнение которой , пересекается и тогда , откуда .

Площадь всей фигуры, ввиду ее симметрии относительно оси ,

(кв. ед).

Пример 8.11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение. Для определения пределов интегрирования сделаем рисунок (рис. 8.7), из которого видно, что площадь проще вычислить по переменной , так как вдоль оси площади искомой фигуры образуют разности площадей криволинейных трапеций. Для определения ординат точек пересечения решим два уравнения:

1) Из следует или , его корни

2) Из и или

его корни

Дата добавления: 2014-01-04