Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение уравнения (9.13) . Чтобы найти его общее решение, надо найти два частных линейно независимых решения у1 и у2. Будем искать частные решения в виде экспоненты , где , то есть в виде функции, которая не меняет своего аналитического выражения при дифференцировании. Получим . Подставляя полученные выражения для у, у', у'' в исходное уравнение (9.13), будем иметь или . Но , значит

(9.15)

Следовательно, если будет корнем этого уравнения, то будет решением уравнения (9.13). Уравнение (9.15) называется характеристическим уравнением по отношению к дифференциальному уравнению (9.13). Поскольку характеристическое уравнение является квадратным, то оно имеет два корня и , которые находятся по формуле (для приведенного квадратного уравнения)

. (9.16)

 


В зависимости от знака дискриминанта возможны три случая:

1. D>0, корни характеристического уравнения , то есть действительные и различные. В этом случае частными решениями будут две функции .Эти решения линейно независимы, так как их отношение . Следовательно, общее решение имеет вид

Пример 9.7. Решить уравнение .

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение.

Общее решение уравнения по формуле (9.16) будет .

2. D =0, корни характеристического уравнения действительные и равные . Два частных решения оказываются одинаковыми , их отношение равно единице, значит они линейно зависимы и их линейная комбинация неприемлема в качестве общего решения. Для того, чтобы их отношение не было постоянной величиной, одну из функций у1 или у2 надо умножить на некоторую функцию и(х). Оказывается, что простейшим значением может быть и (х)= х и этого достаточно. В самом деле, если , а , то то есть такие частные решения линейно независимы. Тогда общее решение уравнения

(9.17)

Пример 9.8. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Частные решения , а общее решение

3. D<0, корни характеристического уравнения – сопряженные комплексные числа вида, где - действительная часть комплексного числа, - коэффициент мнимой части комплексного числа, - мнимая единица. Можно проверить путем подстановки в исходное уравнение (9.13), что функции действительной переменной будут его частными решениями (с учетом того, что . А так как их отношение

, то они линейно независимы иих линейная комбинация

(9,18)

есть общее решение дифференциального уравнения (9.13).

Пример 9.9. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Здесь . Частные решения , а общее решение по формуле (9.18) будет

.

Пример 9.10. Решить уравнение у'' +9у = О.

Решение. Характеристическое уравнение имеет мнимые корни или , где =0, =3. Общее решение уравнения .


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка | Общие понятия. Ряд - это бесконечная последовательность символов, соединенных знаком плюс
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 374; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.