Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие однородного уравнения связано с понятием однородной функции.

Определение. Функция мы ограничиваемся функцией двух независимых переменных) называется однородной функцией -го измерения однородности, если

, (9.10)

для любого .

В частности, если , то есть, если , то функция называется однородной функцией нулевого измерения однородности.

Пример 9.4. Является ли однородной функция ?

Решение:

Найдем .

Ответ: данная функция однородная второго измерения.

Пример 9.5. Является ли однородной функция .

Решение:

Найдем .

Ответ: данная функция есть однородная нулевого измерения.

Замечание: Однородную функцию нулевого измерения всегда можно представить как функцию отношения ее аргументов, то есть

или ФФ .

Определение. Дифференциальное уравнение общего вида

, (9.11)

или уравнение, которое может быть приведено к такому общему виду, где - однородная функция нулевого измерения, называется однородным.

Решение однородного уравнения. Пусть дано однородное уравнение (9.11). По определению, . Положим, , тогда и уравнение (9.11) можно записать

. (9.12)

Введем подстановку , где - дифференцируемая функция. Из подстановки следует, что . Дифференцируя обе части по , получим

.

Подставляя это выражение производной в уравнение (9.12): и учитывая, что , получим или . Последнее есть уравнение с разделяющимися переменными, которое после разделения переменных примет вид . Почленно интегрируя и подставляя , получим общий интеграл.

Пример 9.6. Решить уравнение .

Решение. Приведем уравнение к общему виду (9.12). , . Введем стандартную замену , , получим -. Разделяя переменные, получим или . Правильную дробь, стоящую слева, разложим на простейшие дроби (справедливость разложения легко проверить, приведя в скобках дроби к общему знаменатель). Почленно интегрируя, найдем . После потенцирования получим или . Учитывая, что , будем иметь или . Итак, общий интеграл .

9.7. Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид таких уравнений Р(х,у,у',у'') = 0 или у' = f (х, у,у'). Общее решение: у = (х,С_1,,С₂), общий интеграл Ф(х,y, С_1,,С₂) = 0. Начальные условия: , то есть, кроме координат точки, через которую пройдет искомая интегральная кривая, задается еще направление кривой в этой точке в виде углового коэффициента касательной.

Если не всякое уравнение 1-го порядка можно решить в квадратурах, то уравнение 2-го порядка тем более. Рассмотрим только один тип уравнений второго порядка, решения которых сравнительно просты - линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, общий вид которых

(9.13)

где р, - постоянные величины.

Прежде чем перейти к их решению, сформулируем определения некоторых новых понятий и теорем.

Определение 1. Две функции у₁ и у₂ называются линейно зависимыми,

если , где, то есть, если .

Определение 2. Две функции у₁ и у₂ линейно независимы, если их

отношение не равно постоянной величине, то есть .

Определение 3. Если у₁ и у₂ - две дифференцируемые функции от х, то

определитель называется определителем Вроньского (Ю. М. Гене-Вроньский 1776-1853, польский математик и философ).

Теорема 1. Если у₁ и у₂ - линейно независимы на отрезке [a, b], то определитель Вроньского W, составленный из этих функций, не равен нулю ни в одной из точек отрезка [а, b].

Теорема 2. Если у₁ и у₂ - два линейно независимых решения уравнения , то их линейная комбинация у=С₁у₁+С₂у₂ где С₁ и С₂ -произвольные постоянные, не равные нулю одновременно обе, есть общее решение данного уравнения.

Доказательство. Покажем, что у=С₁у₁+С₂у₂ - решение уравнения (9.13). Найдем и подставим в (9.13). Получим

или

Но так как по условию и - решения уравнения (9.13), то левая часть уравнения обращается в нуль, то есть у = С₁,у₁ + С₂ у₂ является решением однородного уравнения (9.13).

Покажем теперь, что это решение - общее, то есть для любой пары начальных условий у(х₀)=у₀, у'(х₀)=у'₀, произвольные постоянные С₁ и С₂ определяются однозначно как некоторые определенные числа С₁ =С_10, С₂ =С₂₀ (приписывание к индексу нуля означает конкретное число).

Действительно, подставим начальные условия в общее решение и его производную. Будем иметь систему линейных уравнений с неизвестными С_1, С₂

(9.14)

Из системы (9.14) неизвестные С₁ и С₂ определяются однозначно, поскольку определитель системы , так как у₁ и у₂ - линейно независимы (см. теорему 1). Теорема 2 полностью доказана.

Дата добавления: 2014-01-04