Признак сравнения рядов

Пусть даны два ряда с положительными членами

1)

2)

причем , для всех = 1,2,3,..., ,...

Тогда, если второй ряд сходится, то сходится и первый ряд, а если первый ряд расходится, то расходится и второй.

Замечание 1. Условие (10.3) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов.

Замечание 2. Чтобы продуктивно пользоваться признаком сравнения, надо иметь определенный запас рядов, о которых мы достоверно знаем, что они сходятся (или расходятся). Вот почему мы рассматриваем его последним.

Пример 10.7. выяснить сходимость рядов:

а) .

б) .

в) .

Решение, а) Очевидно, что . Но ряд сходится как обобщенный гармонический ряд, у которого . Тогда и ряд сходится по признаку сравнения.

б) Сравним. Ряд сходится как геометрический со

знаменателем . Тогда и данный ряд (б) сходится.

в) Сравним общий член данного ряда с общим членом ряда гармонического .Но ряд - расходится как гармонический. Тогда данный ряд (в) тоже расходится по признаку сравнения.

Дата добавления: 2014-01-04