Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

До сих пор мы рассматривали ряды с положительными членами. Но ряды могут иметь члены с различными знаками. Например, если в ряде положить , то три первых члена ряда будут положительными, а три следующие - отрицательными и так далее. При других значениях знаки будут меняться иначе.

Среди знакопеременных рядов выделим знакочередующиеся, члены которых через один меняют знаки. Например,

(10.4)

В общем виде запишем знакочередующийся ряд так

. (10.5)

Ряд может начинаться с первого отрицательного члена второй положительный и т.д. Если члены таких рядов по абсолютной величине одинаковы, то и ведут они себя одинаково - либо оба сходятся, либо расходятся. То есть, это равносильно умножению ряда (10.5) на –1.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости, носящий название признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда

1) по абсолютной величине убывают:

2) и предел общего члена стремится к нулю при т.е. ,

то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена, .

Пример 10.8. а) Ряд сходятся, так как

1)

2), то есть выполняются оба условия признака Лейбница.

в) В ряде

1) члены ряда медленно убывают

2) но общий член не стремится к нулю .

Поэтому второй ряд расходится.

Дата добавления: 2014-01-04