Абсолютная и условная сходимость ряда

Пусть дан знакопеременный ряд .Запишем ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(10.6)

Определение: Знакопеременный или знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

В абсолютно сходящемся ряде можно как угодно переставлять его члены, при этом ни сумма ряда, ни его сходимость не нарушаются.

Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать, вычитать, умножать, при этом получающиеся новые ряды тоже абсолютно сходятся, а их суммы соответственно равны сумме, разности, произведению сумм исходных рядов.

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

С условно сходящимися рядами нужно обращаться крайне осторожно, так как при перестановке их членов сумма меняется. Поэтому их практическое применение ограничено.

Пример 10.9. а) Исследовать сходимость ряда

Составим ряд из абсолютных величин его членов

Этот ряд сходится как обобщенный гармонический, у которого =3>1,

см. формулу (10.2). Значит, сходится и данный ряд, причем абсолютно.

б) Исследовать сходимость ряда

Он сходится по признаку Лейбница. А ряд, составленный из абсолютных величин его членов, будет гармонический ряд , который, как

известно, расходится. Значит, данный ряд - условно сходящийся.

Дата добавления: 2014-01-04