Итак, для нахождения радиуса сходимости степенного ряда предлагается формула

. (10.10)

Найдя радиус сходимости , можно записать интервал сходимости и исследовать сходимость данного степенного ряда па концах интервала, положив в ряде , а затем . Если при х=ряд сходится, значит, он абсолютно сходящийся, то есть он сходится и при .

Пример 10.10. Найти область сходимости ряда: а) ;

Решение. Здесь .

Найдем .

Интервал сходимости .

Проверим, сходится ли ряд на концах этого интервала.

Пусть . Подставляя это значение х в степенной ряд, получим числовой ряд с положительными членами . Он расходится потому что представляет собой сумму членов гармонического ряда с нечетными знаменателями.

Пусть теперь, тогда получим знакочередующийся ряд , который сходится по признаку Лейбница. Итак, область сходимости степенного ряда .

б) Найти область сходимости ряда .

Решение. Здесь .

Бесконечный радиус сходимости означает, что ряд сходится на всей числовой оси при любых действительных х.