Разложение функций в степенные ряды

Если степенной ряд сходится на интервале, то каждому значению х из этого интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. То есть сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая ее через можно записать равенство

(10.11)

понимая его так, что при каждом сумма, стоящая справа в ряде (10.11) равна значению функции при том же х. Говорят, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Равенство (10.11), справедливое на интервале сходимости, называют разложением функции в степенной ряд.

Теорема 1. Степенной ряд (10.11) можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале его сходимости, причем получающиеся новые ряды имеют тот же интервал сходимости.

Теорема 2. Степенной ряд (10.110 можно любое число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до x, если , причем получающиеся новые ряды имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

Эти две теоремы позволяют расширить область степенных рядов и применять их в вычислениях.

Если функция у = имеет ограниченные производные любого порядка, то ее можно разложить в степенной ряд, называемый рядом Тейлора (Б. Тейлор, 1685-1731, английский математик):

(10.12)

Если в ряде (10.12) положить а = 0, то получим ряд, носящий название ряд Маклорена (К. Маклорен, 1698-1746, шотландский математик):

Пример 10.11. Разложить в ряд Маклорена функции: а) .

Решение. Эта функция не изменяется при дифференцировании, то есть . Поэтому при х =0 имеем . Подставляя найденные значения функции и производных в ряд (10.13) получим разложение

. (10.14)

Здесь и ниже в конце формулы в скобках указан интервал сходимости степенного ряда.

б)

Решение.

Подставляя эти коэффициенты в ряд (10.13) получим разложение для синуса

(10.15)

в)

Решение. Продифференцируем почленно ряд для синуса. Будем иметь

или

(10.6)

г) .

Решение.

Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (10.13), получим биномиальный ряд:

(10.17)

д).

Решение. Запишем биномиальный ряд для случая, когда .

(10.18)

Почленно интегрируя от 0 до х, получим

,

или ,

или (10.19)

е) .

Решение. В ряде (10.18) вместо х положим х³. Получим

Почленно интегрируя, как в предыдущем примере от 0 до х, будем

иметь

. (20.10)

Дата добавления: 2014-01-04