Методы численного решения системы линейных алгебраических уравнений

ЛЕКЦИЯ 3

1. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).

Пример: пусть требуется решить систему уравнений

(1)

Исключим сначала неизвестное х₁ из второго и третьего уравнений системы (1), используя первое уравнение. Уравнение, с помощью которого преобразуются остальные уравнения, называют разрешающим, а коэффициент этого уравнения при неизвестном, исключаемом из остальных уравнений, - разрешающим или главным элементом. (Первое уравнение – разрешающее, коэффициент 5 при х₁ в этом уравнении – разрешающий элемент).

Разделим первое уравнение на 5 и вычтем преобразованное первое уравнение из второго и третьего уравненийсистемы (1).

Теперь разрешающее - второе уравнение. Разделим его на и вычтем преобразованное второе уравнение, умноженное на, из третьего уравнения. Получим систему

Выполнен прямой ход в методе Гаусса.

Выполняем обратный ход, исключая последовательно и из второго и первого уравнений:

a) умножаем третье уравнение на и вычитаем его из второго уравнения;

b) умножаем его же на и вычитаем из первого уравнения:

c) умножаем второе уравнение на и вычитаем его из первого:

(2)

Получаем решение системы (1)

Пусть теперь дана система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(3)

Решением системы (3) называется упорядоченное множество чисел , если подстановка превращает уравнения (3) в равенства .

Общая схема метода Гаусса для систем, имеющих единственное решение

Пусть . (В противном случае в качестве первого уравнения возьмем какое-либо другое). Разделим первое уравнение на .

Получим

, (4)

где ; ,

Умножим разрешающее уравнение (4) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (3). Аналогично преобразуем остальные уравнения. Система примет вид

(5)

где

Если какой-либо из коэффициентов окажется равным нулю, то j-ое уравнение системы (3) войдет в систему (5) без изменений т.е.

(То есть если в какой-либо из уравнений отсутствовала переменная , то уравнение не преобразуется). Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (5), сделаем разрешающим второе уравнение и применим описанную процедуру к системе из n-1 уравнений, исключая из оставшихся уравнений. Получим систему

где

Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (3) к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов

(6)

Прямой ход решения выполнен.

Обратный ход:

a) последовательно исключаем неизвестное , начиная с уравнения и заканчивая первым. Получаем

(7)

Затем исключаем неизвестное из уравнений с номером j

и т.д.

В результате получаем решение системы

Для уменьшения погрешности вычислений существуют различные модификации метода Гаусса.

Дата добавления: 2014-01-04