Теорема

Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения . Пусть кроме этого,

при (3)

Тогда итерационный процесс сходится и дает в пределе единственный корень уравнения

Доказательство:

Уравнение имеет на отрезке действительный корень. Обозначим его ξ

Выбираем произвольные и строим итерационную последовательность ; ;…;.

Рассмотрим уравнение

. (*)

Т.к. (- корень уравнения , т.е. , а ).

Применяем теорему Лагранжа к уравнению (*).

,

где лежит между и , т.е. .

Согласно неравенству (3), имеем

, т.к. .

Аналогично находим

Используя следующее неравенство, получаем

Повторяя процесс, получаем

(4)

По условию теоремы , поэтому из (4) следует

, т.е. .

Т.е. итерационная последовательность сходится и дает в пределе корень уравнения . Корень этот единственный.

Действительно, предположим, что на этом отрезке есть еще корень уравнения . Тогда т.к. .

Пришли к противоречию. Теорема доказана.

Замечание 1. По условию теоремы итерационный процесс сходится при любом выборе . Благодаря этому он является самоисправляющимся, т.к. неверно вычисленное можно рассматривать как новое нулевое приближение.

Замечание 2. ,

Т.к. , , то каждое последующее приближение ближе к корню чем предыдущее.

Геометрический смысл метода итераций.

Корень уравнения - это абсцисса точки пересечения кривой и прямой .

а) При приближения и т.д. монотонно убывают, приближаясь к (или возрастают, если ).

Условие теоремы , автоматически выполняются если .

б) При последовательные приближения колеблются около .

в) При итерационный процесс расходится!

Для применения метода итераций уравнение нужно привести к виду так, чтобы при .

Это можно сделать различными способами:

1. Уравнение заменяется равносильным .

В этом случае .

Параметр подбирают так, чтобы , при .

2. Уравнение заменяется равносильным ,

где - произвольная, дифференцируемая на отрезке функция, не имеющая корней на отрезке .

подбирают так, чтобы , при .

Можно показать, что при соответствующем выборе функции , получаются расчетные формулы метода хорд и метода касательных.

Дата добавления: 2014-01-04