Вторая интерполяционная формула Ньютона

ЛЕКЦИЯ 9

Интерполирование функций. (Продолжение)

Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

(1)

Вывод формулы аналогичен 1-ой интерполяционной формуле, только теперь коэффициент полинома (коэффициент ) определяется из равенств

(2)

Введем обозначение

Тогда

и так далее.

В результате получим:

(3)

Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:

х	У
	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893

Найти lg1044

Решение: составляем таблицу конечных разностей.

1050	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893	41560	-426 -418 -409 -401	8

Примем Тогда .

По формуле (3) получаем:

В результате все знаки верные!

Т.о. первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад (за границы интервала); Вторая формула – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Операция экстраполирования менее точна!

Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона.

Если узлы интерполирования - равноотстоящие причем то, пологая , получим остаточные члены для 1-ой и 2-ой интерполяционных формул Ньютона:

(1)

, (2)

Где - некоторое промежуточное значение между узлом интерполирования и точкой .

(Для интерполирования , для экстраполирования возможно, что ).

При расчетах порядок n разностей выбирается таким, что . Учитывая, что h достаточно мало и и что

можно положить:

(3)

При этом остаточные члены интерполяционных формул Ньютона будут равны (подставляя (3) в (1) и (2)).

Пример: В пятизначных таблицах логарифмов даются логарифмы целых чисел от х=1000 до х=10000 с предельной абсолютной погрешностью, равной . Возможно ли линейное программирование с той же степенью точности?

Решение: Т.к., то где

Отсюда

, а

Из формулы (1) при n=11 и h=1 получаем:

Т.к. (интерполируем не далее, чем на 1 шаг), то

Окончательно получаем:

Т.о. погрешность интерполирования не превосходит погрешностей исходных данных!

Линейное интерполирование (h=1) возможно!!!

* * *

Интерполяционные формулы Ньютона используют лишь значения функций, лежащие лишь по одну сторону от выбранного начального значения

Для интерполирования в середине таблицы удобно применять формулы, содержащие как последующие, так и предшествующие значения функций по отношению к начальному ее значению. При этом используются центральные разности:

Причем:

Интерполяционные формулы с центральными разностями: формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.

. Интерполяционная формула Лагранжа.

Для произвольно заданных узлов интерполирования (в том числе и для неравноотстоящих узлов) применяется интерполяционная формула Лагранжа.

На отрезке [a, b] задано n+1 значений аргумента и известны значения функций y=f(x):

Требуется построить полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах , те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

Рассмотрим частную задачу: построить полином , такой, что бы при

Т.е. (1)

Такой полином имеет вид:

(2)

При - условие (1)

Поэтому

И

В результате получаем:

(3)

Будем теперь искать интерполяционный полином в виде

Этот полином имеет вид:

(4)

Подставляя (3) в (4), получаем:

(5)

----- интерполяционная формула Лагранжа

Можно доказать единственность полинома Лагранжа

При n=1 имеем:

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (

При n=2 получаем уравнение параболы, проходящей через три точки:

(точки

Пример: Для функции построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы:

Решение: Вычисляем

По формуле (5) получаем:

Точность не велика, т.к. синусоиду мы интерполируем параболой (квадратичной).

`Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

(6)

где

Пример1: с какой точностью можно вычислить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа для функции , выбрав узлы интерполирования Три точки n=2.

Решение: имеем

Отсюда (т.к.

Из формулы (6) получаем:

Пример2 с какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа

Точное значение

6 Обратное интерполирование

Задача обратного интерполирования: по заданному значению функции найти аргумент , при котором . Функция y=f(x) задана таблично.

Предположим, что на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции, функция f(x) монотонна. Тогда существует однозначная обратная функция x=F(y). Она задана той же таблицей, что и y=f(x), только теперь аргументом будет значение , а -соответствующее значение функции.

В этом случае обратное интерполирование сводится к обычному интерполированию для функции x=F(y). Т.е. строится интерполяционный многочлен (например, по формуле Лагранжа) – многочлен . При подстановке в значения - получаем .

Второй способ применим ко всякой функции f(x) (не обязательно к монотонной!). Не меняя ролями функцию и аргумент, записываем по какой – либо формуле интерполяционный многочлен . Неизвестное значение находим приближенно, решая уравнение . Если число узлов велико, то этот способ нахождения приводит к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка.

Рассмотрим другой - интерполяционный метод решения уравнений.

Будем рассматривать только равноотстоящие узлы, т.е.

Пусть для определенности находится между и . Строим интерполяционный многочлен по 1-ой формуле Ньютона. Уравнение принимает вид:

(2)

Выберем начальное приближение

Подставляя в (2) последовательно получаем

Итерационный процесс прекращается, когда два соседних приближения совпадают с заданной системой точности.

Т.о. находится

Т.к. то

Пример: функция y=f(x) задана таблично

х	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
у	1,6487	1,8221	2,0138	2,2255	2,4596

Найти значение , для которого =1,7333

Решение: строим таблицу конечных разностей заданной функции.

х	у
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	1,6487 1,8221 2,0138 2,2255 2,4596

Т.к. т.е., воспользуемся 1-ой интерполяционной формулой Ньютона (2), подставив в нее значения разностей из таблицы.

Получаем:

Т.к. решение ищем с точностью до 0,0001, (4-ре значащих цифры после запятой), то

- шаг по х.

Дата добавления: 2014-01-04