Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Вторая интерполяционная формула Ньютона


ЛЕКЦИЯ 9

Интерполирование функций. (Продолжение)

 

Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

(1)

Вывод формулы аналогичен 1-ой интерполяционной формуле, только теперь коэффициент полинома (коэффициент ) определяется из равенств

(2)

Введем обозначение

Тогда

и так далее.

В результате получим:

(3)

Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:

 

х У
3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893

 

 

Найти lg1044

 

 

Решение: составляем таблицу конечных разностей.

1050 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 41560 -426 -418 -409 -401 8

 

Примем Тогда .

По формуле (3) получаем:

В результате все знаки верные!

Т.о. первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад ( за границы интервала); Вторая формула – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Операция экстраполирования менее точна!

Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона.

Если узлы интерполирования - равноотстоящие причем то , пологая , получим остаточные члены для 1-ой и 2-ой интерполяционных формул Ньютона:

(1)

, (2)

Где - некоторое промежуточное значение между узлом интерполирования и точкой .

(Для интерполирования , для экстраполирования возможно, что ).

При расчетах порядок n разностей выбирается таким, что . Учитывая, что h достаточно мало и и что

можно положить:

(3)

При этом остаточные члены интерполяционных формул Ньютона будут равны ( подставляя (3) в (1) и (2) ).

Пример: В пятизначных таблицах логарифмов даются логарифмы целых чисел от х=1000 до х=10000 с предельной абсолютной погрешностью, равной . Возможно ли линейное программирование с той же степенью точности?

Решение: Т.к., то где



Отсюда

, а

Из формулы (1) при n=11 и h=1 получаем:

Т.к. (интерполируем не далее, чем на 1 шаг), то

Окончательно получаем:

Т.о. погрешность интерполирования не превосходит погрешностей исходных данных!

Линейное интерполирование (h=1) возможно!!!

* * *

Интерполяционные формулы Ньютона используют лишь значения функций, лежащие лишь по одну сторону от выбранного начального значения

 

Для интерполирования в середине таблицы удобно применять формулы, содержащие как последующие, так и предшествующие значения функций по отношению к начальному ее значению. При этом используются центральные разности:

Причем:

 

 

Интерполяционные формулы с центральными разностями: формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.

 

.Интерполяционная формула Лагранжа.

Для произвольно заданных узлов интерполирования (в том числе и для неравноотстоящих узлов ) применяется интерполяционная формула Лагранжа.

На отрезке [a, b] задано n+1 значений аргумента и известны значения функций y=f(x):

Требуется построить полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах , те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

Рассмотрим частную задачу: построить полином , такой, что бы при

Т.е. (1)

Такой полином имеет вид:

(2)

При - условие (1)

Поэтому

И

В результате получаем:

(3)

Будем теперь искать интерполяционный полином в виде

Этот полином имеет вид:

(4)

Подставляя (3) в (4), получаем:

(5)

 

----- интерполяционная формула Лагранжа

 

Можно доказать единственность полинома Лагранжа

 

При n=1 имеем:

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (

При n=2 получаем уравнение параболы, проходящей через три точки:

 

(точки

Пример: Для функции построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы:

Решение: Вычисляем

По формуле (5) получаем:

Точность не велика, т.к. синусоиду мы интерполируем параболой (квадратичной).

 

`Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

 

(6)

где

 

Пример1: с какой точностью можно вычислить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа для функции , выбрав узлы интерполирования Три точки n=2.

Решение: имеем

Отсюда (т.к.

Из формулы (6) получаем:

 

Пример2 с какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа

Точное значение

 

 

6 Обратное интерполирование

Задача обратного интерполирования: по заданному значению функции найти аргумент , при котором . Функция y=f(x) задана таблично.

Предположим, что на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции, функция f(x) монотонна. Тогда существует однозначная обратная функция x=F(y). Она задана той же таблицей, что и y=f(x), только теперь аргументом будет значение , а -соответствующее значение функции.

В этом случае обратное интерполирование сводится к обычному интерполированию для функции x=F(y). Т.е. строится интерполяционный многочлен ( например, по формуле Лагранжа) – многочлен . При подстановке в значения - получаем .

Второй способ применим ко всякой функции f(x) ( не обязательно к монотонной!). Не меняя ролями функцию и аргумент, записываем по какой – либо формуле интерполяционный многочлен . Неизвестное значение находим приближенно, решая уравнение . Если число узлов велико, то этот способ нахождения приводит к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка.

Рассмотрим другой - интерполяционный метод решения уравнений.

Будем рассматривать только равноотстоящие узлы, т.е.

Пусть для определенности находится между и . Строим интерполяционный многочлен по 1-ой формуле Ньютона. Уравнение принимает вид:

(2)

Выберем начальное приближение

Подставляя в (2) последовательно получаем

Итерационный процесс прекращается, когда два соседних приближения совпадают с заданной системой точности.

Т.о. находится

Т.к. то



Пример: функция y=f(x) задана таблично

 

х 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
у 1,6487 1,8221 2,0138 2,2255 2,4596

 

Найти значение , для которого =1,7333

Решение: строим таблицу конечных разностей заданной функции.

х у
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,6487 1,8221 2,0138 2,2255 2,4596  

 

Т.к. т.е., воспользуемся 1-ой интерполяционной формулой Ньютона (2), подставив в нее значения разностей из таблицы.

Получаем:

Т.к. решение ищем с точностью до 0,0001, (4-ре значащих цифры после запятой), то

- шаг по х.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Первая интерполяционная формула Ньютона | ЛЕКЦИЯ 10

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 625; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.018 сек.