Лекция 10

Сплайн – интерполяция.

(spline – рейка, планка) Механические сплайны – гибкие деревянные рейки, закрепленные на концах. В узлах (точках) интерполяции подвешивают грузила. Сплайн принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Если сплайн представить функцией S(x), то S и непрерывны на [].

Кубическая сплайн – функция, удовлетворяющая условиям называется естественным кубическим сплайном. С математической точки зрения кубическая сплайн – функция – единственная функция, обладающая свойством минимальной кривизны, среди всех функций, интерполирующих данные точки и имеющих квадратичную интегрируемую вторую производную.

Т.е. кубический сплайн есть самая гладкая из функций, интерполирующих заданные точки.

Пусть отрезок [a, b] разбит на n частей точками

Сплайном k-ой степени называется функция, представляющая собой многочлен не выше к-ой степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов причем в точках стыка двух интервалов функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше к

Сплайн 1-ой степени – кусочно-линейная функция (непрерывная). Производная терпит разрыв в точках излома.

Задача интерполяции функции на отрезке [a, b] кубическим сплайном (сплайном 3-ей степени) состоит в нахождении функции S(x), равной многочлену третьей степени на каждом отрезке т.е. (1)

Значения сплайна в узлах интерполяции равны и сплайн-функция S(x) непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков.

В сплайне (1) неизвестные . Интервал [a, b] разбит на n участков. Т. о. имеем 4n неизвестных: (i*p) = 4n.

Уравнения (2) – (5) дают 4n – 2 уравнения. Т.о. для определения величин необходимо ввести еще каких-либо 2 ограничения. В качестве ограничений выбирается одна из 3-х пар краевых условий:

Построим сплайн, удовлетворяющий краевым условиям I типа.

Введем величины , называемые наклонами сплайна в узлах (i=0,1,..,n)

Интерполяционный кубический сплайн вида

(6)

Где удовлетворяет условиям (2) – (4) для любых

Из условия (5) и краевых условий (I) можно определить параметры .

Действительно, легко проверить, подставляя в (6) и т.д., что

С учетом выражений: (беря вторые производные от S(x) по х и подставляя и )

И краевых условий (I) и условий (S) получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных

(Приравнивая:

(7)

Решая систему (7) методом Гаусса, получаем в результате прямой прогонки коэффициенты:

(8)

Обратной прогонкой получаем результат:

(9)

Результаты (8) и (9) позволяют построить кубический сплайн (6)

Построение сплайна с учетом краевых условий (II) производится аналогично!

Точность интерполяционной функции f(x), имеющей на отрезке [a, b] непрерывные производные до 3-его порядка включительно, кубическим сплайном S(x) по точкам равномерного разбиения отрезка с шагом h при любых краевых условиях (I – III), оценивается неравенством:

где (10)

! Неравенство (10) дает завышенную оценку точности.

Пример: На отрезке [0, ] построить кубический сплайн с шагом , интерполирующий функцию , если заданы значения функции в трех узлах интерполяции:

x
Sin(x)

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение и сравнить с точным значением 0,5.

Решение: Т.к. задано 2 отрезка,, то представим сплайн в виде:

Краевые условия (I) имеют вид:

Из системы уравнений (7) имеем:

Находим

Подставляем значения в (6). Получаем:

(т.к. и числа, содержащие

Аналогично:

Получаем для : (т.к.

Т. о.

Погрешность меньше !

Мы могли бы получить выражение для по формуле (8) и (9) – рекуррентные соотношения, получаемые при прямом и обратном прогоне в Методе Гаусса.

Действительно имеем:

Находим:

7 Блок – схема программ интерполяции

(Ракитин, Первушин «Практическое руководство по методам вычислений. 1998)

Блок-схема построения кубического сплайна

Для переменных х [x_i-1,x_i] (i=1,2,…n)

а

в

определим кубический многочлен:

- шаг. m_i определятся рекуррентным соотношением:

f’(a)=m₀=A; f’(b)=m_n=B; m_i=L_i M _i+1+M_i (i=n-1,n-2,…0), где L₀=0; M₀=m₀;

L_i== ; M_i=L_i(M_i-1-b_i) (i=1,2…,n-1); b_i=

A и В –заданы А= f’(a); B=f’(b)

Дата добавления: 2014-01-04