Дифференциал

Пусть приращение функции в точке можно представить в следующем виде:

, (5.21)

где – приращение аргумента, вызвавшее приращение функции ; – постоянная (т.е. величина, не зависящая от ); – бесконечно малая функция высшего порядка малости по сравнению с , т.е. .

Определение 5.6. Если приращение функции в точке может быть представлена по формуле (5.21), то главная часть приращения функции , пропорциональная приращению аргумента, называется дифференциалом этой функции.

Дифференциал функции обозначается символом . Итак, по определению:

(5.22)

,

Выражение (5.21) можно записать следующим образом:

(5.23)

Рис. 5.4.

Приведем геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим функцию (см. рис. 5.4). В произвольной точке графика данной функцию проведем касательную. Дадим независимой переменной приращение . Из треугольника находим: . Поскольку , то:

(5.24)

Согласно определению дифференциала . Таким образом, . Таким образом, дифференциал функции , есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение . Из рис. 5.4 видно, что . Сравнив данное соотношение с (5.23), можно сделать вывод, что – нелинейная часть бесконечно малого порядка. Отметим, что не всегда больше .

Дата добавления: 2014-01-04