Формула полной вероятности

Пусть интересующее нас событие может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий , составляющих полную группу событий. События такого рода обычно называются гипотезами. Вероятность всех гипотез известны, т.е. даны . Известны также условные вероятности наступления события при осуществлении каждой из указанных гипотез, т.е. . Тогда вероятность наступления интересующего нас события определяется по формуле полной вероятности:

(7.10)

Пример 7.4. На склад поступили детали с трёх станков. На первом станке изготовлено 50% деталей от их общего количества, на втором- 30% и на третьем —20%,причём на первом станке было изготовлено 85% деталей первого сорта, на втором —80% и на третьем — 75%.Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что взятая наугад деталь оказалась первого сорта. Возможны три гипотезы: – деталь изготовлена на первом станке, ; – деталь изготовлена на втором станке, ; – деталь изготовлена на третьем станке, . Найдем условные вероятности наступления события при осуществлении каждой из гипотез. Вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта, при условии, что она изготовлена на первом станке, равна , соответственно другие условные вероятности равны и .

По формуле полной вероятности находим:

Рассмотрим возможность вычисления вероятности, используя результат проведенного опыта. Пусть условия испытания содержат некоторый неизвестный элемент, относительного которого может быть сделано различных гипотез: , образующих полную группу событий. Их вероятности известны , известны и их условные вероятности . Используя результаты опыта, можно вычислить другую условную вероятность по формуле Бейеса.

Теорема 7.5. (Теорема Бейеса). Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:

(7.11)

Теорема Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Изменим условие последней задачи.

Пример 7.17. На склад поступили детали с трёх станков. На первом станке изготовлено 50% деталей от их общего количества, на втором – 30% и на третьем – 20%,причём на первом станке было изготовлено 85% деталей первого сорта, на втором – 80% и на третьем – 75%. Взятая деталь стандартная. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что взятая наугад деталь окажется стандартной. Согласно формуле Бейеса:

Дата добавления: 2014-01-04