Повторные независимые испытания

Практические задачи, связанные с оценкой вероятности наступления события в результате нескольких равноценных попыток могут анализироваться с применением формулы Бернулли или (при большом количестве таких попыток) с применением приближенной формулы Пуассона.

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события одна и та же и равна . Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события обычно называют успехом, а не наступление – неудачей. Обозначим вероятность неудачи .

Вероятность того, что в независимых испытаниях успех наступит ровно раз, выражается формулой Бернулли:

(7.12)

Вероятность при данном сначала увеличивается при увеличении от 0 до некоторого значения , а затем уменьшается при изменении от до . Поэтому , называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число , заключено между числами:

(7.13)

Если число – целое число, то наивероятнейших чисел два: и .

Пример 7.5. Определить вероятность того, что в семье, состоящей из пяти детей, будет 3 мальчика и 2 девочки. Рождение девочки и мальчика считать равновероятным.

Решение:

Будем считать, что событие состоит в появлении мальчика. Поскольку вероятность появления мальчика и девочки равны, то , . Согласно условию: , . Найдем число сочетаний

Согласно формуле Бернулли, искомая вероятность равна:

При решении примеров, рассмотренных ранее, вычисление вероятностей не вызывало затруднений, так как число испытаний n было невелико. Однако, если число испытаний достаточно велико, то использование формулы Бернулли нецелесообразно в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Например, требуется вычислить P ₃₂₀(285) при p= 0,89.

^.

Получить здесь более или менее точный результат практически невозможно. Локальная теорема Лапласа, представляет собой асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

(7.14)

(7.15)

— функция Гаусса;

(7.16)

Для упрощения расчетов по формуле (7.14) составлены таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четная, то есть . Такие таблицы обычно приводятся в различных учебника, справочниках по теории вероятностей и математической статистике.

Пример 7.6. Два спортсмена играют в настольный теннис. Вероятность выигрыша первого спортсмена равна 5/9. Какова вероятность того, что он выиграет две партии из пяти?

Решение:

, , , .

.

Найдем значение аргумента .

По таблицам находим Искомая вероятность, равна

.

Проверим полученный результат, воспользовавшись формулой Бернулли. Имеем:

.

Расхождение ответов объясняется тем, что формула (7.14) дает хорошее приближение при больших значениях n, а в данном случае n = 5. Формула (7.14) позволяет получить более близкие к точному значению результаты, чем больше значение и чем ближе значения p и q к 0,5.

Если вероятность события p (или q) в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний , но небольшой величине произведения (меньше 10) вероятности , полученные по формуле (7.14) недостаточно близки к их истинным значениям. В таких случаях применяют другую асимптотическую формулу – формулу Пуассона, справедливость которой доказывается следующей теоремой.

Теорема. 7.6. Если вероятность p наступления события в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний достаточно велико, а произведение (при этом ), то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит раз, приближенно равна:

(7.17)

(формула Пуассона).

Контрольные вопросы

1. Сумма нескольких событий. 2. Теорема сложения двух совместных событий. 3. Теорема сложения двух несовместных событий. 4. Произведение двух событий. 5. Какие события называются независимыми в совокупности? 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий. Условная вероятность. 7. Вероятность совместного появления двух независимых событий. 8. Формула полной вероятности. Гипотезы. 9. Формула Бейеса. 10. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число. 11. Локальная теорема Лапласа. 12. Формула Пуассона.

Дата добавления: 2014-01-04